Soient deux nombres, \(x\) et \(y\).
En retranchant au premier nombre le double du second, on obtient 21 : \[ x - 2y = 21 \]
En ajoutant au second nombre le tiers du premier, on trouve 27 : \[ y + \frac{1}{3}x = 27 \]
Quels sont ces nombres ?
Les solutions sont \(x = 45\) et \(y = 12\).
Correction détaillée
Nous devons trouver les valeurs des nombres \(x\) et \(y\) qui satisfont les deux équations suivantes :
\[ \begin{cases} x - 2y = 21 \quad \text{(1)} \\ y + \dfrac{1}{3}x = 27 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
Étape 1 : Isoler une variable dans l’une des équations
Commençons par isoler \(x\) dans l’équation (1).
\[ x - 2y = 21 \]
Ajoutons \(2y\) des deux côtés pour isoler \(x\) :
\[ x = 21 + 2y \quad \text{(3)} \]
Étape 2 : Substituer l’expression obtenue dans l’autre équation
Maintenant, remplaçons \(x\) dans l’équation (2) par l’expression trouvée dans l’équation (3) :
\[ y + \dfrac{1}{3}x = 27 \]
Substituons \(x = 21 + 2y\) :
\[ y + \dfrac{1}{3}(21 + 2y) = 27 \]
Étape 3 : Résoudre l’équation obtenue pour \(y\)
Développons :
\[ y + \dfrac{21}{3} + \dfrac{2y}{3} = 27 \]
Simplifions les fractions :
\[ y + 7 + \dfrac{2y}{3} = 27 \]
Pour éliminer les fractions, multiplions chaque terme par 3 :
\[ 3y + 21 + 2y = 81 \]
Combine les termes en \(y\) :
\[ 5y + 21 = 81 \]
Soustrayons 21 des deux côtés :
\[ 5y = 60 \]
Divisons par 5 :
\[ y = 12 \]
Étape 4 : Trouver la valeur de \(x\) en utilisant la valeur de \(y\)
Utilisons l’expression (3) :
\[ x = 21 + 2y \]
Remplaçons \(y = 12\) :
\[ x = 21 + 2 \times 12 = 21 + 24 = 45 \]
Conclusion
Les nombres recherchés sont :
\[ x = 45 \quad \text{et} \quad y = 12 \]