Deux sœurs ont ensemble 32 ans. Il y a 4 ans, l’âge de la plus jeune était les trois cinquièmes de celui de l’aînée. Quels sont leurs âges ?
La plus jeune sœur a 13 ans et l’aînée en a 19.
Correction détaillée de l’exercice :
Énoncé :
Deux sœurs ont ensemble 32 ans. Il y a 4 ans, l’âge de la plus jeune
était les trois cinquièmes de celui de l’aînée. Quels sont leurs âges
?
Étape 1 : Définir les inconnues
Commençons par définir les âges actuels des deux sœurs.
Étape 2 : Établir les équations
Nous avons deux informations dans l’énoncé qui nous permettent d’établir deux équations.
La somme de leurs âges actuels est 32 ans : \[ x + y = 32 \]
Il y a 4 ans, l’âge de la plus jeune était les trois cinquièmes de celui de l’aînée :
Selon l’énoncé : \[ x - 4 = \frac{3}{5}(y - 4) \]
Étape 3 : Résoudre le système d’équations
Nous avons donc le système suivant : \[ \begin{cases} x + y = 32 \\ x - 4 = \dfrac{3}{5}(y - 4) \end{cases} \]
Étape 3.1 : Exprimer \(x\) en fonction de \(y\) à partir de la première équation
\[ x = 32 - y \]
Étape 3.2 : Substituer \(x\) dans la deuxième équation
Remplaçons \(x\) par \(32 - y\) dans la deuxième équation : \[ (32 - y) - 4 = \dfrac{3}{5}(y - 4) \]
Simplifions le côté gauche : \[ 28 - y = \dfrac{3}{5}(y - 4) \]
Étape 3.3 : Éliminer la fraction en multipliant par 5
Pour se débarrasser de la fraction, multiplions chaque terme par 5 : \[ 5(28 - y) = 3(y - 4) \]
Développons les deux côtés : \[ 140 - 5y = 3y - 12 \]
Étape 3.4 : Regrouper les termes similaires
Rassemblons les termes en \(y\) d’un côté et les constantes de l’autre : \[ 140 + 12 = 3y + 5y \] \[ 152 = 8y \]
Étape 3.5 : Isoler \(y\)
Divisons chaque côté de l’équation par 8 : \[ y = \dfrac{152}{8} = 19 \]
Étape 4 : Trouver \(x\)
Utilisons la première équation pour trouver \(x\) : \[ x = 32 - y = 32 - 19 = 13 \]
Conclusion :