Trouver un nombre de trois chiffres, sachant que la somme de ses chiffres est 13, que le chiffre des dizaines est le double de celui des centaines, enfin que le nombre, lu à rebours, dépasse de 99 le nombre cherché.
Le nombre recherché est 364.
Correction détaillée :
Pour déterminer le nombre de trois chiffres répondant aux conditions données, suivons les étapes ci-dessous de manière méthodique.
Soit un nombre à trois chiffres représenté par \(ABC\), où : - \(A\) est le chiffre des centaines, - \(B\) est le chiffre des dizaines, - \(C\) est le chiffre des unités.
La somme des chiffres est 13 :
\[ A + B + C = 13 \]
Le chiffre des dizaines est le double de celui des centaines :
\[ B = 2A \]
Le nombre lu à rebours dépasse de 99 le nombre cherché :
Le nombre original \(ABC\) peut s’écrire en valeur numérique comme :
\[ 100A + 10B + C \]
Le nombre inversé \(CBA\) s’écrit comme :
\[ 100C + 10B + A \]
La condition donnée se traduit par :
\[ (100C + 10B + A) = (100A + 10B + C) + 99 \]
Commençons par simplifier l’équation obtenue à partir de la troisième condition :
\[ 100C + 10B + A = 100A + 10B + C + 99 \]
Soustrayons \(100A + 10B + C\) des deux côtés :
\[ 100C + 10B + A - 100A - 10B - C = 99 \]
Simplifions les termes similaires :
\[ (100C - C) + (10B - 10B) + (A - 100A) = 99 \] \[ 99C - 99A = 99 \]
Divisons toute l’équation par 99 pour simplifier :
\[ C - A = 1 \quad \Rightarrow \quad C = A + 1 \]
Nous avons maintenant les équations suivantes :
Remplaçons les valeurs de \(B\) et \(C\) dans la première équation :
\[ A + 2A + (A + 1) = 13 \] \[ 4A + 1 = 13 \]
Soustrayons 1 des deux côtés :
\[ 4A = 12 \]
Divisons par 4 :
\[ A = 3 \]
Maintenant, calculons \(B\) et \(C\) :
\[ B = 2A = 2 \times 3 = 6 \] \[ C = A + 1 = 3 + 1 = 4 \]
Le nombre obtenu est donc 364.
Vérifions la troisième condition :
\[ 463 - 364 = 99 \]
Ce qui confirme que le nombre inversé dépasse de 99 le nombre initial.
Le nombre recherché, répondant à toutes les conditions posées, est 364.