Résoudre les systèmes suivants :
\[ \begin{cases} a + b + c = 30 \\ \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} \\ \dfrac{a}{3} = \dfrac{c}{2} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = -\dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{x} = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{z} \\ -\dfrac{1}{y} = -\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{x} \end{cases} \]
Système 1 : a = 9, b = 15, c = 6.
Système 2 : x = –2, y = –3, z = 6.
Nous allons résoudre chacun des systèmes de manière détaillée.
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Système 1
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On nous donne :
(1) a + b + c = 30
(2) a/3 = b/5
(3) a/3 = c/2
Étape 1 : Exprimer a, b et c en fonction d’une même quantité.
On remarque que les égalités (2) et (3) comparent a/3 à b/5 et à c/2.
Posons alors :
a/3 = k (avec k un nombre réel)
Dès lors, on trouve : a = 3k.
À partir de (2) :
a/3 = b/5 ⟹ k = b/5 ⟹ b = 5k.
De même, à partir de (3) :
a/3 = c/2 ⟹ k = c/2 ⟹ c = 2k.
Étape 2 : Remplacer a, b et c dans l’équation (1).
L’équation (1) devient : 3k + 5k + 2k = 30
(3 + 5 + 2)k = 30
10k = 30
On obtient alors : k = 30/10 = 3.
Étape 3 : Déterminer a, b et c en remplaçant k par 3.
a = 3k = 3×3 = 9
b = 5k = 5×3 = 15
c = 2k = 2×3 = 6
Conclusion pour le Système 1 :
a = 9, b = 15, c = 6.
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Système 2
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On nous donne :
(1) (1/x) + (1/y) + (1/z) = –2/3
(2) (1/x) = –2/3 + (1/z)
(3) –(1/y) = –1/6 – (1/x)
Étape 1 : Introduire des variables pour simplifier les
expressions.
Notons : u = 1/x, v = 1/y, w = 1/z.
Les équations deviennent alors :
(i) u + v + w = –2/3
(ii) u = –2/3 + w
(iii) –v = –1/6 – u
Étape 2 : Exprimer w et v en fonction de u.
À partir de (ii) :
u = –2/3 + w ⟹ w = u + 2/3.
À partir de (iii) :
–v = –1/6 – u
En multipliant des deux côtés par –1, on obtient :
v = 1/6 + u.
Étape 3 : Remplacer v et w exprimés en fonction de u dans l’équation
(i).
L’équation (i) devient : u + (1/6 + u) + (u + 2/3) = –2/3.
Rassemblons les termes semblables : u + u + u = 3u
et 1/6 + 2/3.
Pour additionner 1/6 et 2/3, on écrit 2/3 avec pour dénominateur 6 :
2/3 = 4/6.
Alors :
1/6 + 4/6 = 5/6.
L’équation s’écrit alors : 3u + 5/6 = –2/3.
Étape 4 : Résoudre pour u.
Pour éliminer les fractions, multiplions toute l’équation par 6 : 6×3u
+ 6×(5/6) = 6×(–2/3)
18u + 5 = –4 (car 6×(–2/3) = –4).
Ensuite, isolons u : 18u = –4 – 5 = –9
u = –9/18 = –1/2.
Étape 5 : Déterminer v et w à l’aide de u.
Avec v = 1/6 + u : v = 1/6 + (–1/2).
Pour calculer, mettons –1/2 sous dénominateur 6 : –1/2 = –3/6, donc :
v = 1/6 – 3/6 = –2/6 = –1/3.
Avec w = u + 2/3 : w = –1/2 + 2/3.
Pour trouver une somme, exprimons les fractions avec un dénominateur
commun, ici 6 : –1/2 = –3/6 et 2/3 = 4/6, donc : w = –3/6 + 4/6 =
1/6.
Étape 6 : Retour aux variables x, y et z.
On avait posé : u = 1/x, v = 1/y, w = 1/z.
Ainsi,
1/x = –1/2 ⟹ x = –2.
1/y = –1/3 ⟹ y = –3.
1/z = 1/6 ⟹ z = 6.
Vérifions rapidement l’équation (1) : (1/x) + (1/y) + (1/z) = –1/2
– 1/3 + 1/6.
Pour additionner, donnons le même dénominateur (6) : –1/2 = –3/6, –1/3
= –2/6, 1/6 = 1/6,
La somme est : –3/6 – 2/6 + 1/6 = –4/6 = –2/3, ce qui correspond
bien.
Conclusion pour le Système 2 :
x = –2, y = –3, z = 6.
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Récapitulatif des solutions :
Pour le système
a + b + c = 30, a/3 = b/5 et a/3 = c/2,
les solutions sont : a = 9, b = 15, c = 6.
Pour le système
(1/x) + (1/y) + (1/z) = –2/3, (1/x) = –2/3 + (1/z) et –(1/y) = –1/6 –
(1/x),
les solutions sont : x = –2, y = –3, z = 6.