Exercice 94

Un enfant achète 26 rails pour son train électrique, composés de rails courbes et de rails droits. Un rail courbe coûte \(4{,}40\,\text{fr}\) et un rail droit \(3{,}30\,\text{fr}\). Combien a-t-il acheté de rails de chaque type, sachant qu’il a dépensé \(97{,}90\,\text{fr}\) ?

Réponse

L’enfant a acheté 11 rails courbes et 15 rails droits.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Nous devons déterminer combien de rails courbes et de rails droits l’enfant a achetés. Pour cela, suivons les étapes suivantes :

1. Définir les variables :

   • Soit \(x\) le nombre de rails courbes achetés.
   • Soit \(y\) le nombre de rails droits achetés.

2. Établir les équations :

   • Equation du nombre total de rails :

     L’enfant a acheté un total de 26 rails. Donc : \[ x + y = 26 \]

   • Equation du coût total :

     Chaque rail courbe coûte \(4{,}40\,\text{fr}\) et chaque rail droit coûte \(3{,}30\,\text{fr}\). Le coût total est de \(97{,}90\,\text{fr}\). Donc : \[ 4{,}40x + 3{,}30y = 97{,}90 \]

3. Résoudre le système d’équations :

   Nous avons le système suivant : \[ \begin{cases} x + y = 26 \\ 4{,}40x + 3{,}30y = 97{,}90 \end{cases} \]

   • Étape 1 : Isoler une variable dans la première équation.

     Par exemple, isolons \(y\) : \[ y = 26 - x \]

   • Étape 2 : Substituer \(y\) dans la deuxième équation.

     Remplaçons \(y\) par \(26 - x\) dans la deuxième équation : \[ 4{,}40x + 3{,}30(26 - x) = 97{,}90 \]

   • Étape 3 : Développer et simplifier.

     Calculons \(3{,}30 \times 26\) : \[ 3{,}30 \times 26 = 85{,}80 \]

     Donc, l’équation devient : \[ 4{,}40x + 85{,}80 - 3{,}30x = 97{,}90 \]

     Combinons les termes en \(x\) : \[ (4{,}40 - 3{,}30)x + 85{,}80 = 97{,}90 \] \[ 1{,}10x + 85{,}80 = 97{,}90 \]

   • Étape 4 : Isoler \(x\).

     Soustrayons \(85{,}80\) des deux côtés : \[ 1{,}10x = 97{,}90 - 85{,}80 \] \[ 1{,}10x = 12{,}10 \]

     Divisons par \(1{,}10\) : \[ x = \frac{12{,}10}{1{,}10} = 11 \]

   • Étape 5 : Trouver \(y\).

     Utilisons \(y = 26 - x\) : \[ y = 26 - 11 = 15 \]

4. Vérification de la solution :

   • Nombre total de rails : \[ 11 + 15 = 26 \quad \text{(correct)} \]

   • Coût total : \[ 4{,}40 \times 11 + 3{,}30 \times 15 = 48{,}40 + 49{,}50 = 97{,}90\,\text{fr} \quad \text{(correct)} \]

Conclusion :

L’enfant a acheté 11 rails courbes et 15 rails droits.