Un rectangle a un périmètre de 76 cm. Si sa largeur est diminuée de 3 cm et sa longueur est augmentée de 1 cm, son aire diminuerait de \(65\, \mathrm{cm}^2\). Déterminez les dimensions de ce rectangle.
Réponse : Le rectangle initial a une longueur de 25 cm et une largeur de 13 cm.
Soit un rectangle de longueur L et de largeur l.
Étape 1 : Calcul du périmètre
Le problème nous indique que le périmètre du rectangle est de 76 cm, et
sachant que le périmètre d’un rectangle se calcule par :
P = 2(L + l)
On a donc :
2(L + l) = 76
Divisons par 2 de chaque côté :
L + l = 38 (1)
Étape 2 : Expression de l’aire modifiée
Après modification, la largeur est diminuée de 3 cm et la longueur
augmentée de 1 cm.
Les nouvelles dimensions sont donc :
Longueur : L + 1
Largeur : l – 3
L’aire du rectangle d’origine est A = L × l, et la nouvelle aire A’ = (L
+ 1)(l – 3).
Selon l’énoncé, l’aire diminue de 65 cm², ce qui signifie que :
A – A’ = 65
En remplaçant par les expressions, on a :
L × l – (L + 1)(l – 3) = 65 (2)
Étape 3 : Développement de l’équation de l’aire
Développons (L + 1)(l – 3) :
(L + 1)(l – 3) = L × l – 3L + l – 3
Substituons dans l’équation (2) :
L × l – [L × l – 3L + l – 3] = 65
L × l – L × l + 3L – l + 3 = 65
Les termes L × l s’annulent. On obtient :
3L – l + 3 = 65
Soustrayons 3 des deux côtés :
3L – l = 62 (3)
Étape 4 : Système d’équations
On dispose maintenant de deux équations :
(1) L + l = 38
(3) 3L – l = 62
Pour résoudre le système, additionnons (1) et (3) afin d’éliminer l
:
(L + l) + (3L – l) = 38 + 62
L + 3L + l – l = 100
4L = 100
D’où :
L = 100 / 4 = 25
Ensuite, retrouvons l à partir de l’équation (1) :
25 + l = 38
l = 38 – 25 = 13
Étape 5 : Conclusion
Les dimensions du rectangle sont :
Longueur = 25 cm
Largeur = 13 cm
Ainsi, le rectangle initial a une longueur de 25 cm et une largeur de 13 cm.