Soient deux nombres. Si on ajoute au premier les \(\frac{3}{4}\) du second, on obtient 14. Mais si on retranche au triple du second les \(\frac{3}{10}\) du premier, on obtient la fraction \(\frac{69}{2}\). Quels sont ces deux nombres ?
Les deux nombres recherchés sont 5 et 12.
Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer les deux nombres en utilisant un système d’équations. Suivons les étapes ci-dessous.
Soit : - \(x\) le premier nombre, - \(y\) le second nombre.
Premier énoncé : “Si on ajoute au premier les \(\frac{3}{4}\) du second, on obtient 14.”
Mathématiquement, cela se traduit par : \[ x + \frac{3}{4}y = 14 \quad \text{(1)} \]
Deuxième énoncé : “Si on retranche au triple du second les \(\frac{3}{10}\) du premier, on obtient la fraction \(\frac{69}{2}\).”
Mathématiquement, cela se traduit par : \[ 3y - \frac{3}{10}x = \frac{69}{2} \quad \text{(2)} \]
Pour simplifier les équations, multiplions chaque équation par un dénominateur commun afin d’éliminer les fractions.
Pour l’équation (1) : Multiplier par 4 : \[ 4x + 3y = 56 \quad \text{(3)} \]
Pour l’équation (2) : Multiplier par 10 : \[ 30y - 3x = 345 \quad \text{(4)} \]
Nous avons maintenant le système suivant : \[ \begin{cases} 4x + 3y = 56 \quad \text{(3)} \\ -3x + 30y = 345 \quad \text{(4)} \end{cases} \]
Méthode par addition : Afin d’éliminer une des variables, multipliions l’équation (3) par 3 : \[ 12x + 9y = 168 \quad \text{(5)} \] Et l’équation (4) par 4 : \[ -12x + 120y = 1380 \quad \text{(6)} \]
Additionnons les équations (5) et (6) : \[ (12x - 12x) + (9y + 120y) = 168 + 1380 \] \[ 129y = 1548 \]
Calcul de \(y\) : \[ y = \frac{1548}{129} = 12 \]
Calcul de \(x\) : Remplaçons \(y = 12\) dans l’équation (3) : \[ 4x + 3(12) = 56 \] \[ 4x + 36 = 56 \] \[ 4x = 56 - 36 \] \[ 4x = 20 \] \[ x = \frac{20}{4} = 5 \]
Les deux nombres recherchés sont : - Premier nombre (\(x\)) : 5 - Second nombre (\(y\)) : 12