On veut résoudre les systèmes d’équations suivants par addition. Quel est le moyen le plus simple de procéder ?
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 3 \\ x + 2y = -1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4x - 3y = 2 \\ 2x - 5y = 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 5x + 3y = 2 \\ 3x - y = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x - \dfrac{1}{2}y = 4 \\ 3x - y = 2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 5x - 3y = 2 \\ 10x - 2y = 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x - y = 3 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
Chaque système a été résolu par addition en éliminant une variable pour déterminer l’autre, puis en substituant pour trouver toutes les valeurs des variables. Cette méthode est efficace pour résoudre les systèmes d’équations linéaires de manière structurée.
Nous allons résoudre chacun des systèmes d’équations donnés en utilisant la méthode par addition (également appelée méthode d’élimination). Cette méthode consiste à additionner ou soustraire les équations afin d’éliminer l’une des variables, ce qui permet de résoudre l’équation restante plus facilement.
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 3 \\ x + 2y = -1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 3 \quad \text{(1)}\\ x + 2y = -1 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
En ajoutant les deux équations, les termes en \(y\) s’éliminent car \(-2y + 2y = 0\).
\[ (3x - 2y) + (x + 2y) = 3 + (-1) \]
Ce qui donne :
\[ 4x = 2 \]
\[ 4x = 2 \implies x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Utilisons l’équation (2) :
\[ x + 2y = -1 \]
Remplaçons \(x\) par \(\frac{1}{2}\) :
\[ \frac{1}{2} + 2y = -1 \]
\[ 2y = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \implies y = -\frac{3}{4} \]
\[ x = \frac{1}{2}, \quad y = -\frac{3}{4} \]
\[ \begin{cases} 4x - 3y = 2 \\ 2x - 5y = 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4x - 3y = 2 \quad \text{(1)}\\ 2x - 5y = 3 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
Pour éliminer \(x\), multiplions l’équation (2) par 2 :
\[ 2 \times (2x - 5y) = 2 \times 3 \implies 4x - 10y = 6 \quad \text{(2')} \]
\[ (4x - 10y) - (4x - 3y) = 6 - 2 \]
Ce qui donne :
\[ -7y = 4 \]
\[ -7y = 4 \implies y = -\frac{4}{7} \]
Utilisons l’équation (1) :
\[ 4x - 3y = 2 \]
Remplaçons \(y\) par \(-\frac{4}{7}\) :
\[ 4x - 3\left(-\frac{4}{7}\right) = 2 \implies 4x + \frac{12}{7} = 2 \]
\[ 4x = 2 - \frac{12}{7} = \frac{14}{7} - \frac{12}{7} = \frac{2}{7} \implies x = \frac{2}{28} = \frac{1}{14} \]
\[ x = \frac{1}{14}, \quad y = -\frac{4}{7} \]
\[ \begin{cases} 5x + 3y = 2 \\ 3x - y = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 5x + 3y = 2 \quad \text{(1)}\\ 3x - y = 1 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
Multipliions l’équation (2) par 3 :
\[ 3 \times (3x - y) = 3 \times 1 \implies 9x - 3y = 3 \quad \text{(2')} \]
\[ (5x + 3y) + (9x - 3y) = 2 + 3 \]
Ce qui donne :
\[ 14x = 5 \]
\[ 14x = 5 \implies x = \frac{5}{14} \]
\[ 3x - y = 1 \]
Remplaçons \(x\) par \(\frac{5}{14}\) :
\[ 3 \times \frac{5}{14} - y = 1 \implies \frac{15}{14} - y = 1 \]
\[ -y = 1 - \frac{15}{14} = \frac{14}{14} - \frac{15}{14} = -\frac{1}{14} \implies y = \frac{1}{14} \]
\[ x = \frac{5}{14}, \quad y = \frac{1}{14} \]
\[ \begin{cases} 2x - \dfrac{1}{2}y = 4 \\ 3x - y = 2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x - \dfrac{1}{2}y = 4 \quad \text{(1)}\\ 3x - y = 2 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
Pour éviter les fractions, multiplions l’équation (1) par 2 :
\[ 2 \times \left(2x - \dfrac{1}{2}y\right) = 2 \times 4 \implies 4x - y = 8 \quad \text{(1')} \]
L’équation (2) est déjà \(3x - y = 2\).
\[ (4x - y) - (3x - y) = 8 - 2 \]
Ce qui donne :
\[ x = 6 \]
Remplaçons \(x\) par 6 dans l’équation (2) :
\[ 3x - y = 2 \implies 3 \times 6 - y = 2 \implies 18 - y = 2 \]
Résolvons pour \(y\) :
\[ -y = 2 - 18 = -16 \implies y = 16 \]
\[ x = 6, \quad y = 16 \]
\[ \begin{cases} 5x - 3y = 2 \\ 10x - 2y = 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 5x - 3y = 2 \quad \text{(1)}\\ 10x - 2y = 3 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
Multipliions l’équation (1) par 2 pour obtenir le même coefficient de \(x\) que dans l’équation (2) :
\[ 2 \times (5x - 3y) = 2 \times 2 \implies 10x - 6y = 4 \quad \text{(1')} \]
L’équation (2) est \(10x - 2y = 3\).
\[ (10x - 6y) - (10x - 2y) = 4 - 3 \]
Ce qui donne :
\[ -4y = 1 \]
\[ -4y = 1 \implies y = -\frac{1}{4} \]
Utilisons l’équation (1) :
\[ 5x - 3y = 2 \]
Remplaçons \(y\) par \(-\frac{1}{4}\) :
\[ 5x - 3\left(-\frac{1}{4}\right) = 2 \implies 5x + \frac{3}{4} = 2 \]
\[ 5x = 2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \implies x = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
\[ x = \frac{1}{4}, \quad y = -\frac{1}{4} \]
\[ \begin{cases} 3x - y = 3 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x - y = 3 \quad \text{(1)}\\ x + y = 4 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
\[ (3x - y) + (x + y) = 3 + 4 \]
Ce qui donne :
\[ 4x = 7 \]
\[ 4x = 7 \implies x = \frac{7}{4} \]
Utilisons l’équation (2) :
\[ x + y = 4 \]
Remplaçons \(x\) par \(\frac{7}{4}\) :
\[ \frac{7}{4} + y = 4 \implies y = 4 - \frac{7}{4} = \frac{16}{4} - \frac{7}{4} = \frac{9}{4} \]
\[ x = \frac{7}{4}, \quad y = \frac{9}{4} \]
Chaque système a été résolu en utilisant la méthode par addition, ce qui permet d’éliminer une variable et de résoudre l’autre, puis de substituer pour trouver la seconde variable. Cette méthode est efficace pour résoudre des systèmes d’équations linéaires de manière structurée et logique.