Trouver un nombre à deux chiffres, sachant que la somme des chiffres du nombre renversé est égale à 13 et que le nombre renversé est supérieur de 27 au nombre cherché.
Le nombre recherché est 58. Les chiffres 5 et 8 vérifient les conditions : 5 + 8 = 13 et 85 − 58 = 27.
Pour résoudre ce problème, nous allons suivre une démarche étape par étape en posant des équations basées sur les informations fournies.
Trouver un nombre à deux chiffres, sachant que : 1. La somme des chiffres du nombre renversé est égale à 13. 2. Le nombre renversé est supérieur de 27 au nombre cherché.
Commençons par définir les chiffres du nombre à deux chiffres.
Ainsi, le nombre initial peut être représenté par : \[ \text{Nombre} = 10a + b \]
Le nombre renversé (c’est-à-dire, les chiffres interchangés) est : \[ \text{Nombre renversé} = 10b + a \]
Selon l’énoncé, nous avons deux informations qui vont nous permettre de formuler deux équations.
\[ a + b = 13 \] Cette équation provient du fait que la somme des chiffres du nombre renversé (\(b\) et \(a\)) est égale à 13.
\[ (10b + a) - (10a + b) = 27 \] Développons cette équation : \[ \begin{align*} 10b + a - 10a - b &= 27 \\ (10b - b) + (a - 10a) &= 27 \\ 9b - 9a &= 27 \\ \end{align*} \] Divisons chaque terme par 9 : \[ b - a = 3 \]
Nous avons désormais le système suivant : \[ \begin{cases} a + b = 13 \quad \text{(1)} \\ b - a = 3 \quad \text{(2)} \\ \end{cases} \]
Pour résoudre ce système, nous pouvons additionner les deux équations : \[ \begin{align*} (a + b) + (b - a) &= 13 + 3 \\ a + b + b - a &= 16 \\ 2b &= 16 \\ b &= 8 \\ \end{align*} \]
Maintenant que nous connaissons la valeur de \(b\), nous pouvons la substituer dans l’équation (1) pour trouver \(a\) : \[ \begin{align*} a + 8 &= 13 \\ a &= 13 - 8 \\ a &= 5 \\ \end{align*} \]
Maintenant que nous connaissons les valeurs de \(a\) et \(b\), nous pouvons déterminer le nombre initial : \[ \text{Nombre} = 10a + b = 10 \times 5 + 8 = 50 + 8 = 58 \]
Les deux conditions sont satisfaites, donc le nombre recherché est bien 58.