\[ \begin{cases} 0{,}1\,x - 0{,}1\,y + 0{,}2\,z = 0{,}1 + 0{,}1\,u \\ x + y = -(z + 2) \\ 2\,u - z + (x + y) = 0 \\ 3\,x - \dfrac{4\,y - 8\,z}{2} = 7 - u \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \dfrac{2}{3}\,x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{3} - 2\,u \\ x + \dfrac{1}{2}\,z + \dfrac{5\,u}{2} = \dfrac{1 + y}{2} \\ \dfrac{x}{6} - \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{3} - \dfrac{u}{2} = -1 \\ u - \dfrac{1}{2} + \dfrac{z}{2} = -\dfrac{3}{2}\,x - \dfrac{y}{4} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2\,w + y = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\,x \\ 10 - 6\,z = -2\,x - 4\,y \\ y + z - v = 5 \\ 4 - \dfrac{w}{2} = \dfrac{1}{2}\,(z - 3\,v) \\ x + z + w = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4\,x - 4\,y = 10 \\ -5 + 2\,u = y \\ 3\,z = -6\,x \\ \dfrac{1}{2}\,y = \dfrac{3}{2} + z \end{cases} \]
Système 1 : x = –1, y = –2, z = 1, u = 2.
Système 2 : x = –3, y = 4, z = 6, u = 1.
Système 3 : w = 0, x = –1, y = 1, z = 2, v = –2.
Système 4 : x = 11/10, y = –7/5, z = –11/5, u = 9/5.
Nous allons résoudre chacun des systèmes pas à pas en détaillant la méthode utilisée.
────────────────────────────── Système 1 :
Le système à résoudre est :
(1) 0,1·x – 0,1·y + 0,2·z = 0,1 + 0,1·u
(2) x + y = –(z + 2) c’est-à-dire x + y = –z – 2
(3) 2·u – z + (x + y) = 0
(4) 3·x – (4·y – 8·z)/2 = 7 – u
Étape 1 : Simplifier les équations.
• Dans (1), multiplions toute l’équation par 10 pour se débarrasser des décimales :
0,1x – 0,1y + 0,2z = 0,1 + 0,1u
⟹ x – y + 2z = 1 + u (1’)
• Dans (4), remarquons que (4y – 8z)/2 = 2y – 4z. Donc (4) s’écrit :
3x – 2y + 4z = 7 – u
⟹ 3x – 2y + 4z + u = 7 (4’)
Le système devient alors :
(1’) x – y + 2z – u = 1
(2) x + y = –z – 2
(3) 2u – z + (x + y) = 0
(4’) 3x – 2y + 4z + u = 7
Étape 2 : Utiliser (2) pour simplifier (3).
L’équation (3) se réécrit en remarquant que x + y = –z – 2 d’après (2) :
2u – z + (–z – 2) = 0
⟹ 2u – 2z – 2 = 0
Divisons par 2 : u – z – 1 = 0, soit u = z + 1 (5)
Étape 3 : Remplacer u dans (1’) et (4’).
• Dans (1’) :
x – y + 2z – (z + 1) = 1
⟹ x – y + z – 1 = 1
⟹ x – y + z = 2 (1’’)
• Dans (4’) :
3x – 2y + 4z + (z + 1) = 7
⟹ 3x – 2y + 5z = 6 (4’’)
Maintenant, nous avons le système suivant à trois inconnues (x, y, z) :
(1’‘) x – y + z = 2
(2) x + y = –z – 2
(4’’) 3x – 2y + 5z = 6
Étape 4 : Résoudre (1’’) et (2).
Additionnons (1’’) et (2) pour éliminer y : [x – y + z] + [x + y] =
2 + (–z – 2)
⟹ 2x + z = –z
⟹ 2x = –2z donc x = –z.
Maintenant, remplaçons x = –z dans (2) : –z + y = –z – 2
⟹ y = –2.
Étape 5 : Déterminer z. Utilisons (1’‘) :
x – y + z = 2
⟹ (–z) – (–2) + z = 2
⟹ –z + 2 + z = 2
⟹ 2 = 2, ce qui est vérifié et ne donne pas d’information sur z.
Utilisons alors (4’’) :
Remplaçons x et y dans (4’’) :
3(–z) – 2(–2) + 5z = 6
⟹ –3z + 4 + 5z = 6
⟹ 2z + 4 = 6
⟹ 2z = 2
⟹ z = 1.
Étape 6 : Déterminer u. D’après (5) : u = z + 1 = 1 + 1 = 2.
Conclusion du système 1 : x = –1, y = –2, z = 1, u = 2.
────────────────────────────── Système 2 :
Le système est :
(1) (2/3)x + (1/2)y = (1/3)z – 2u
(2) x + (1/2)z + (5/2)u = (1 + y)/2
(3) (1/6)x – (1/2)y + (1/3)z – (1/2)u = –1
(4) u – 1/2 + (1/2)z = –(3/2)x – (1/4)y
Étape 1 : Éliminer les fractions en multipliant par un dénominateur commun.
Pour (1), multiplions par 6 (ppcm de 3 et 2) : 6·[(2/3)x + (1/2)y] =
6·[(1/3)z – 2u]
⟹ 4x + 3y = 2z – 12u
⟹ 4x + 3y – 2z + 12u = 0 (1’)
Pour (2), multiplions par 2 : 2x + z + 5u = 1 + y
⟹ 2x – y + z + 5u = 1 (2’)
Pour (3), multiplions par 6 : x – 3y + 2z – 3u = –6 (3’)
Pour (4), multiplions par 4 (ppcm de 2 et 4) : 4u – 2 + 2z = –6x –
y
⟹ 6x + y + 2z + 4u – 2 = 0
⟹ 6x + y + 2z + 4u = 2 (4’)
Le système devient :
(1’) 4x + 3y – 2z + 12u = 0
(2’) 2x – y + z + 5u = 1
(3’) x – 3y + 2z – 3u = –6
(4’) 6x + y + 2z + 4u = 2
Étape 2 : Exprimer les équations avec x, y, z et u et éliminer progressivement.
Prenons (2’) et exprimons z : (2’) z = 1 – 2x + y – 5u. (5)
Substituons (5) dans (1’):
4x + 3y – 2(1 – 2x + y – 5u) + 12u = 0
⟹ 4x + 3y – 2 + 4x – 2y + 10u + 12u = 0
⟹ 8x + y + 22u – 2 = 0
⟹ 8x + y + 22u = 2. (1’’)
Substituons (5) dans (3’):
x – 3y + 2(1 – 2x + y – 5u) – 3u = –6
⟹ x – 3y + 2 – 4x + 2y – 10u – 3u = –6
⟹ –3x – y – 13u + 2 = –6
⟹ –3x – y – 13u = –8
⟹ 3x + y + 13u = 8. (3’’)
Substituons (5) dans (4’):
6x + y + 2(1 – 2x + y – 5u) + 4u = 2
⟹ 6x + y + 2 – 4x + 2y – 10u + 4u = 2
⟹ 2x + 3y – 6u + 2 = 2
⟹ 2x + 3y – 6u = 0. (4’’)
Nous obtenons ainsi un système réduit à trois inconnues (x, y, u) :
(1’‘) 8x + y + 22u = 2
(3’‘) 3x + y + 13u = 8
(4’’) 2x + 3y – 6u = 0
Étape 3 : Soustraire (3’‘) de (1’’) pour éliminer y.
(1’‘) – (3’’) : (8x – 3x) + (y – y) + (22u – 13u) = 2 – 8
⟹ 5x + 9u = –6. (6)
Étape 4 : Éliminer y entre (3’‘) et (4’’).
Exprimer y de (3’’) :
y = 8 – 3x – 13u. (7)
Substituer (7) dans (4’’):
2x + 3(8 – 3x – 13u) – 6u = 0
⟹ 2x + 24 – 9x – 39u – 6u = 0
⟹ –7x + 24 – 45u = 0
⟹ 7x + 45u = 24. (8)
Étape 5 : Résoudre le système (6) et (8).
Les équations sont :
(6) 5x + 9u = –6
(8) 7x + 45u = 24
Pour éliminer u, on peut multiplier (6) par 5 afin d’obtenir 45u : 5×(5x + 9u) : 25x + 45u = –30
Maintenant, soustrayons cette équation de (8) :
(7x + 45u) – (25x + 45u) = 24 – (–30)
⟹ –18x = 54
⟹ x = –3.
Substituons x = –3 dans (6) :
5(–3) + 9u = –6
⟹ –15 + 9u = –6
⟹ 9u = 9
⟹ u = 1.
Puis, d’après (7) :
y = 8 – 3(–3) – 13·1 = 8 + 9 – 13 = 4.
Étape 6 : Déterminer z à l’aide de (5).
z = 1 – 2(–3) + 4 – 5·1 = 1 + 6 + 4 – 5 = 6.
Conclusion du système 2 : x = –3, y = 4, z = 6, u = 1.
────────────────────────────── Système 3 :
Le système donné est :
(1) 2·w + y = 3/2 + (1/2)x
(2) 10 – 6z = –2x – 4y
(3) y + z – v = 5
(4) 4 – (w/2) = (1/2)(z – 3v)
(5) x + z + w = 1
Nous allons chercher à exprimer les variables étape par étape.
Étape 1 : Réécrire (1) en éliminant les fractions.
Multiplions (1) par 2 : 4w + 2y = 3 + x
⟹ x = 4w + 2y – 3. ( A )
Étape 2 : Réécrire (2).
L’équation (2) est :
10 – 6z = –2x – 4y
On peut la mettre sous la forme : 2x + 4y = 6z – 10
Divisons par 2 : x + 2y = 3z – 5. ( B )
Étape 3 : Isoler v dans (3).
De (3) : v = y + z – 5. ( C )
Étape 4 : Réécrire (4) en éliminant le 1/2.
Multiplions (4) par 2 :
8 – w = z – 3v
Réorganisons : 8 – w – z + 3v = 0
Remplaçons v par (C) : 3v = 3(y + z – 5) = 3y + 3z – 15
Donc,
8 – w – z + 3y + 3z – 15 = 0
⟹ –w + 3y + 2z – 7 = 0
⟹ w = 3y + 2z – 7. ( D )
Étape 5 : Utiliser (5).
L’équation (5) est : x + z + w = 1.
En remplaçant x à l’aide de (A), on obtient :
(4w + 2y – 3) + z + w = 1
⟹ 5w + 2y + z = 4. ( E )
Étape 6 : Remplacer w avec (D) dans (E).
5(3y + 2z – 7) + 2y + z = 4
⟹ 15y + 10z – 35 + 2y + z = 4
⟹ 17y + 11z = 39. ( F )
Étape 7 : Utiliser (B) en remplaçant x par (A).
Rappelons (B) : x + 2y = 3z – 5
Avec (A) : (4w + 2y – 3) + 2y = 3z – 5
⟹ 4w + 4y = 3z – 2
Isolons w :
4w = 3z – 2 – 4y
Mais d’après (D), w = 3y + 2z – 7, donc
4(3y + 2z – 7) = 3z – 2 – 4y
Calculons le côté gauche : 12y + 8z – 28 = 3z – 2 – 4y
Rassemblons les termes similaires : 12y + 8z – 28 + 4y – 3z + 2 =
0
⟹ 16y + 5z – 26 = 0 ( G )
Étape 8 : Résoudre le système (F) et (G) en y et z.
Nous avons : (F) 17y + 11z = 39
(G) 16y + 5z = 26
Méthode par élimination :
Multiplions (G) par 11 :
176y + 55z = 286
Multiplions (F) par 5 :
85y + 55z = 195
Soustrayons la deuxième équation de la première :
(176y – 85y) + (55z – 55z) = 286 – 195
⟹ 91y = 91 donc y = 1.
Puis, remplaçons y = 1 dans (G) :
16(1) + 5z = 26
⟹ 16 + 5z = 26
⟹ 5z = 10
⟹ z = 2.
Étape 9 : Déterminer les autres variables.
D’après (C) : v = y + z – 5 = 1 + 2 – 5 = –2.
D’après (D) : w = 3y + 2z – 7 = 3·1 + 2·2 – 7 = 3 + 4 – 7 = 0.
D’après (A) : x = 4w + 2y – 3 = 4·0 + 2·1 – 3 = 2 – 3 = –1.
Conclusion du système 3 : w = 0, x = –1, y = 1, z = 2, v = –2.
────────────────────────────── Système 4 :
Le système est :
(1) 4x – 4y = 10
(2) –5 + 2u = y
(3) 3z = –6x
(4) (1/2)y = (3/2) + z
Étape 1 : Isoler x dans (1).
Divisons (1) par 2 :
2x – 2y = 5
⟹ x – y = 5/2 donc x = y + 5/2. ( A )
Étape 2 : Exprimer y en fonction de u avec (2).
y = 2u – 5. ( B )
Étape 3 : Exprimer z en fonction de x avec (3).
3z = –6x ⟹ z = –2x. ( C )
Étape 4 : Utiliser (4).
L’équation (4) est :
y/2 = 3/2 + z
Remplaçons z par (C) : y/2 = 3/2 – 2x
Multiplions par 2 : y = 3 – 4x. ( D )
Étape 5 : Remplacer (A) dans (D).
D’après (A), x = y + 5/2, donc
y = 3 – 4(y + 5/2)
⟹ y = 3 – 4y – 10
⟹ y + 4y = 3 – 10
⟹ 5y = –7
⟹ y = –7/5.
Étape 6 : Déterminer x avec (A).
x = y + 5/2 = –7/5 + 5/2
Pour additionner, mettons sur le même dénominateur :
–7/5 = –14/10 et 5/2 = 25/10
⟹ x = (–14 + 25)/10 = 11/10.
Étape 7 : Déterminer z avec (C).
z = –2x = –2·(11/10) = –22/10 = –11/5.
Étape 8 : Déterminer u avec (B).
y = 2u – 5
–7/5 = 2u – 5
⟹ 2u = –7/5 + 5 = (–7 + 25)/5 = 18/5
⟹ u = 9/5.
Conclusion du système 4 : x = 11/10, y = –7/5, z = –11/5, u = 9/5.
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
Système 1 : x = –1, y = –2, z = 1, u = 2.
Système 2 : x = –3, y = 4, z = 6, u = 1.
Système 3 : w = 0, x = –1, y = 1, z = 2, v = –2.
Système 4 : x = 11/10, y = –7/5, z = –11/5, u = 9/5.
Chaque système a ainsi une solution unique obtenue par élimination et substitution.