Exercice 88

Question : La somme de deux nombres positifs est égale à 20. La différence de leurs carrés est de 84. Quels sont ces deux nombres ?

Réponse

Les deux nombres sont a = 121/10 (soit 12,1) et b = 79/10 (soit 7,9).

Corrigé détaillé

Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape en utilisant les deux informations données.

1. Définissons les deux nombres positifs par a et b. Nous savons que leur somme est égale à 20, ce qui se traduit par l’équation :

  a + b = 20   (1)

2. On nous dit également que la différence de leurs carrés est égale à 84. Cela donne :

  a² - b² = 84   (2)

3. On remarque que la différence de deux carrés peut être factorisée grâce à la formule :

  a² - b² = (a + b)(a - b)

En remplaçant dans l’équation (2) et en utilisant (1) on a :

  (a + b)(a - b) = 84
  20 × (a - b) = 84

4. Pour trouver a - b, on divise chaque côté de l’équation par 20 :

  a - b = 84 ÷ 20 = 84/20 = 21/5

5. On obtient dès lors un système de deux équations :

  a + b = 20   (1)
  a - b = 21/5  (3)

6. Pour trouver a, on additionne les deux équations :

  (a + b) + (a - b) = 20 + 21/5
  2a = 20 + 21/5

  Remarquons que 20 peut s’écrire sous la forme 100/5, ainsi :

  2a = (100 + 21) / 5 = 121/5

  En divisant par 2 :

  a = (121/5) ÷ 2 = 121/10

7. Pour déterminer b, on utilise l’équation (1) :

  b = 20 - a = 20 - 121/10

  Écrivons 20 sous la forme 200/10 pour faciliter la soustraction :

  b = (200/10) - (121/10) = (200 - 121) / 10 = 79/10

8. Conclusion :

Les deux nombres positifs qui satisfont les conditions de l’énoncé sont :

  a = 121/10 (soit 12,1) et b = 79/10 (soit 7,9).

Cette solution explique comment utiliser la factorisation de la différence de carrés et la résolution d’un système d’équations pour trouver les deux nombres recherchés.