Question :
\[ \left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y = 10 \\ 2x - y = 5 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} y &= 3x + 2 \\ 2y - x &= 4 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} 5x + 2y &= 20 \\ 15x + 6y &= 60 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} (x - y)^2 &= 25 \\ 3x = 2y \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} 3x^2 + y^2 &= 50 \\ x^2 - 4y^2 &= -14 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} \frac{x}{5} + 4y &= 3 \\ x - 8y &= -10 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} 3x &= 4y \\ \frac{3x}{4} - \frac{5}{6}y &= \frac{3 + y}{6} \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} \frac{x + 2y}{7} &= 4 - y \\ \frac{x}{4} &= 12 + \frac{5}{4}y \end{aligned} \right. \]
Voici la correction détaillée pour chacun des systèmes proposés.
────────────────────────────── a) Système
4x + 3y = 10 (1)
2x – y = 5 (2)
Dans l’équation (2), nous allons exprimer y en fonction de
x.
2x – y = 5 ⟹ y = 2x – 5.
Remplaçons y par 2x – 5 dans l’équation (1) :
4x + 3(2x – 5) = 10.
Calculons : 4x + 6x – 15 = 10 ⟹ 10x – 15 = 10.
Ajoutons 15 des deux côtés :
10x = 25 ⟹ x = 25/10 = 5/2.
Revenons à y = 2x – 5 avec x = 5/2 :
y = 2·(5/2) – 5 = 5 – 5 = 0.
La solution du système est x = 5/2 et y = 0.
────────────────────────────── b) Système
y = 3x + 2 (1)
2y – x = 4 (2)
Remplaçons y par 3x + 2 dans l’équation (2) :
2(3x + 2) – x = 4.
Calculons : 6x + 4 – x = 4 ⟹ 5x + 4 = 4.
Soustrayons 4 des deux côtés :
5x = 0 ⟹ x = 0.
Avec x = 0, on trouve y dans (1) :
y = 3·0 + 2 = 2.
La solution est x = 0 et y = 2.
────────────────────────────── c) Système
5x + 2y = 20 (1)
15x + 6y = 60 (2)
Remarquons que l’équation (2) est exactement trois fois
l’équation (1) (puisque 3×(5x + 2y) = 15x + 6y et 3×20 = 60).
Cela signifie que les deux équations sont liées, c’est-à-dire qu’elles
représentent la même droite.
Le système n’admet pas une solution unique. En fait, toute paire
(x, y) satisfaisant 5x + 2y = 20 est solution.
Pour exprimer la famille des solutions, isolons y dans (1) :
2y = 20 – 5x ⟹ y = (20 – 5x)/2.
Ainsi, pour tout nombre réel x, la solution est :
x = t et y = (20 – 5t)/2, où t est un paramètre.
────────────────────────────── d) Système
(x – y)² = 25 (1)
3x = 2y (2)
À partir de (2), exprimons y en fonction de x :
3x = 2y ⟹ y = (3/2)x.
Remplaçons y dans (1) :
(x – (3/2)x)² = 25 ⟹ [–(1/2)x]² = 25.
Calculons le carré : (x²)/4 = 25.
Multiplions par 4 :
x² = 100 ⟹ x = 10 ou x = –10.
Trouvons y à l’aide de y = (3/2)x :
Si x = 10, alors y = (3/2)·10 = 15.
Si x = –10, alors y = (3/2)(–10) = –15.
Les solutions sont (10, 15) et (–10, –15).
────────────────────────────── e) Système
3x² + y² = 50 (1)
x² – 4y² = –14 (2)
À partir de (2), exprimons x² en fonction de y² :
x² = –14 + 4y².
Remplaçons x² dans (1) :
3(–14 + 4y²) + y² = 50.
Développons : –42 + 12y² + y² = 50 ⟹ –42 + 13y² = 50.
Ajoutons 42 des deux côtés :
13y² = 92 ⟹ y² = 92/13.
Ainsi, y = ±√(92/13). On peut remarquer que 92 = 4×23, ce qui
donne :
y = ±2√(23/13).
Pour x², revenons à x² = –14 + 4y².
Comme y² = 92/13, alors :
x² = –14 + 4·(92/13) = –14 + 368/13.
Pour combiner, écrivons –14 = –182/13, d’où :
x² = (368 – 182)/13 = 186/13.
Ainsi, x = ±√(186/13).
Les deux équations étant en carrés, chaque choix de signe pour x peut
s’accompagner de n’importe quel choix de signe pour y. Autrement dit,
les solutions sont données par :
x = ±√(186/13) et y = ±√(92/13),
avec quatre combinaisons possibles.
────────────────────────────── f) Système
(x/5) + 4y = 3 (1)
x – 8y = –10 (2)
Pour éliminer le dénominateur de (1), multiplions par 5 :
x + 20y = 15. (1’)
On a donc le système :
x + 20y = 15 (1’)
x – 8y = –10 (2)
Pour éliminer x, soustrayons (2) de (1’) :
(x + 20y) – (x – 8y) = 15 – (–10).
Les x s’annulent et l’équation devient : 28y = 25.
En divisant par 28 :
y = 25/28.
Pour trouver x, utilisons (2) :
x = –10 + 8y = –10 + 8·(25/28) = –10 + 200/28.
Simplifions 200/28 en divisant numérateur et dénominateur par 4 :
200/28 = 50/7,
donc x = –10 + 50/7 = (–70 + 50)/7 = –20/7.
La solution est x = –20/7 et y = 25/28.
────────────────────────────── g) Système
3x = 4y (1)
(3x)/4 – (5/6)y = (3 + y)/6 (2)
À partir de (1), exprimons x en fonction de y :
x = (4/3)y.
Remplaçons x dans (2) :
(3·(4/3)y)/4 – (5/6)y = (3 + y)/6.
Simplifions le premier terme : (4y)/4 = y, ainsi l’équation devient
:
y – (5/6)y = (3 + y)/6.
Calculons à gauche : y – (5/6)y = (6y/6 – 5y/6) = y/6.
Nous obtenons alors :
y/6 = (3 + y)/6.
En multipliant chaque côté par 6, on trouve :
y = 3 + y.
En soustrayant y de chaque côté, on obtient :
0 = 3, ce qui est impossible.
Le système ne possède aucune solution.
────────────────────────────── h) Système
(x + 2y)/7 = 4 – y (1)
x/4 = 12 + (5/4)y (2)
Dans (1), multiplions chaque côté par 7 pour éliminer le
dénominateur :
x + 2y = 7(4 – y) = 28 – 7y.
Isolons x :
x = 28 – 7y – 2y = 28 – 9y.
Dans (2), multiplions par 4 pour obtenir :
x = 48 + 5y.
Les deux expressions de x doivent être égales, donc :
28 – 9y = 48 + 5y.
Rassemblons les termes contenant y :
–9y – 5y = 48 – 28 ⟹ –14y = 20.
Divisons par –14 :
y = 20/ (–14) = –10/7.
Remplaçons y dans l’une des expressions pour x, par exemple x =
48 + 5y :
x = 48 + 5(–10/7) = 48 – 50/7.
Pour mettre sur le même dénominateur, écrivons 48 = 336/7, ainsi
:
x = (336 – 50)/7 = 286/7.
La solution est x = 286/7 et y = –10/7.
────────────────────────────── Résumé des réponses :
a) x = 5/2, y = 0.
b) x = 0, y = 2.
c) Pour tout nombre réel t, x = t et y = (20 – 5t)/2.
d) (x, y) = (10, 15) ou (–10, –15).
e) x = ±√(186/13) et y = ±√(92/13) (les signes sont indépendants).
f) x = –20/7 et y = 25/28.
g) Aucun couple (x, y) ne satisfait le système.
h) x = 286/7 et y = –10/7.
Cette démarche détaillée permet d’obtenir pas à pas les solutions pour chacun des systèmes proposés.