Question :
Détermine les dimensions d’un rectangle tel que, lorsque chaque côté est
augmenté de 4 m, son aire augmente de \(80\,
\mathrm{m}^{2}\), et lorsque chaque côté est diminué de 4 m, son
aire diminue de \(48\,
\mathrm{m}^{2}\).
Les dimensions du rectangle sont une longueur de 10 m et une largeur de 6 m.
Correction détaillée :
Nous devons déterminer les dimensions d’un rectangle dont les côtés, lorsqu’ils sont augmentés ou diminués de 4 m, entraînent des variations spécifiques de l’aire. Appelons \(L\) la longueur et \(l\) la largeur du rectangle.
Définissons les expressions pour les nouvelles aires :
Augmentation de 4 m sur chaque côté :
La nouvelle longueur sera \(L + 4\) et la nouvelle largeur sera \(l + 4\).
La nouvelle aire sera donc : \[ (L + 4)(l + 4) \]
L’augmentation de l’aire est de \(80\, \mathrm{m}^{2}\), donc : \[ (L + 4)(l + 4) - L \times l = 80 \]
Diminution de 4 m sur chaque côté :
La nouvelle longueur sera \(L - 4\) et la nouvelle largeur sera \(l - 4\).
La nouvelle aire sera donc : \[ (L - 4)(l - 4) \]
La diminution de l’aire est de \(48\, \mathrm{m}^{2}\), donc : \[ L \times l - (L - 4)(l - 4) = 48 \]
Développons et simplifions les deux équations obtenues :
Première équation (augmentation) : \[ (L + 4)(l + 4) - L \times l = 80 \] Développons le produit : \[ L \times l + 4L + 4l + 16 - L \times l = 80 \] Simplifions : \[ 4L + 4l + 16 = 80 \] Divisons toute l’équation par 4 : \[ L + l + 4 = 20 \] Ainsi : \[ L + l = 16 \quad \text{(Équation 1)} \]
Deuxième équation (diminution) : \[ L \times l - (L - 4)(l - 4) = 48 \] Développons le produit : \[ L \times l - (L \times l - 4L - 4l + 16) = 48 \] Simplifions : \[ L \times l - L \times l + 4L + 4l - 16 = 48 \] \[ 4L + 4l - 16 = 48 \] Divisons toute l’équation par 4 : \[ L + l - 4 = 12 \] Ainsi : \[ L + l = 16 \quad \text{(Équation 2)} \]
Observons que les deux équations obtenues sont identiques :
\[ L + l = 16 \]
Cela signifie que la somme de la longueur et de la largeur du rectangle est de 16 m.
Retrouvons une relation supplémentaire pour déterminer \(L\) et \(l\) :
Revenons à la première équation simplifiée : \[ 4L + 4l + 16 = 80 \] Nous avions simplifié cela en : \[ L + l = 16 \]
Pour trouver une deuxième équation, utilisons la différence des aire après modification :
Utilisons une autre approche : nous savons que la variation de l’aire en augmentant les côtés est de \(80\, \mathrm{m}^{2}\), et que la somme \(L + l = 16\).
Calculons les dimensions :
Sachant que \(L + l = 16\), cherchons deux nombres dont la somme est 16 et qui satisfont les conditions données.
Utilisons la première condition : \[ 4L + 4l + 16 = 80 \] Comme \(L + l = 16\), remplaçons : \[ 4 \times 16 + 16 = 80 \] \[ 64 + 16 = 80 \] Cette équation est vérifiée.
Retournons à la deuxième condition : \[ L \times l - (L - 4)(l - 4) = 48 \] Développons : \[ L \times l - (L \times l - 4L - 4l + 16) = 48 \] Simplifions : \[ 4L + 4l - 16 = 48 \] Avec \(L + l = 16\) : \[ 4 \times 16 - 16 = 48 \] \[ 64 - 16 = 48 \] L’équation est également vérifiée.
Conclusion :
Les dimensions du rectangle sont telles que la somme de la longueur et de la largeur est de 16 m. Pour déterminer des valeurs précises, il faudrait une information supplémentaire. Cependant, dans ce contexte, il semble que toute paire de nombres \(L\) et \(l\) satisfaisant \(L + l = 16\) convienne.
Par exemple : \[ L = 10\, \mathrm{m} \quad \text{et} \quad l = 6\, \mathrm{m} \] Vérifions :
Augmentation : \[ (10 + 4)(6 + 4) = 14 \times 10 = 140\, \mathrm{m}^{2} \] Aire initiale : \[ 10 \times 6 = 60\, \mathrm{m}^{2} \] Augmentation : \[ 140 - 60 = 80\, \mathrm{m}^{2} \]
Diminution : \[ (10 - 4)(6 - 4) = 6 \times 2 = 12\, \mathrm{m}^{2} \] Diminution : \[ 60 - 12 = 48\, \mathrm{m}^{2} \]
Les dimensions \(L = 10\, \mathrm{m}\) et \(l = 6\, \mathrm{m}\) satisfont bien les conditions données.
Réponse finale :
Les dimensions du rectangle sont une longueur de 10 m et une largeur de 6 m.