Avec son vélomoteur, un adolescent atteint les vitesses suivantes :
Pour aller d’une ville A à une ville B, distantes de 90 km, il met 3 h. Pour revenir de B à A, il lui faut 3 h 30 min. Calculer les longueurs des montées, des descentes et du terrain plat entre A et B.
Réponse : Les montées mesurent 20 km, les descentes 40 km et le terrain plat 30 km.
Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer la longueur des sections en montée, en descente et en terrain plat entre les villes A et B.
Données du problème : - Vitesse en terrain plat : \(V_p = 30 \, \text{km/h}\) - Vitesse en montée : \(V_m = 20 \, \text{km/h}\) - Vitesse en descente : \(V_d = 40 \, \text{km/h}\) - Distance totale entre A et B : \(D = 90 \, \text{km}\) - Temps aller (A vers B) : \(t_{\text{aller}} = 3 \, \text{heures}\) - Temps retour (B vers A) : \(t_{\text{retour}} = 3.5 \, \text{heures}\)
Étape 1 : Définir les variables - Soit \(x\) la distance en montée. - Soit \(y\) la distance en descente. - Soit \(z\) la distance en terrain plat.
Nous avons donc : \[ x + y + z = 90 \quad \text{(1)} \]
Étape 2 : Analyser les temps de trajet
Lors de l’aller (A vers B), supposons que le trajet comporte des sections en montée, en descente et en terrain plat. Le temps total est de 3 heures, donc : \[ \frac{x}{V_m} + \frac{y}{V_d} + \frac{z}{V_p} = 3 \quad \text{(2)} \]
Lors du retour (B vers A), les sections en montée et en descente échangent leurs rôles. La montée devient descente et vice versa. Le temps total est de 3.5 heures, donc : \[ \frac{x}{V_d} + \frac{y}{V_m} + \frac{z}{V_p} = 3.5 \quad \text{(3)} \]
Étape 3 : Substituer les valeurs des vitesses
Remplaçons \(V_m\), \(V_d\) et \(V_p\) par leurs valeurs respectives : \[ \frac{x}{20} + \frac{y}{40} + \frac{z}{30} = 3 \quad \text{(2)} \] \[ \frac{x}{40} + \frac{y}{20} + \frac{z}{30} = 3.5 \quad \text{(3)} \]
Étape 4 : Simplifier les équations
Pour simplifier les équations, nous pouvons multiplier chaque équation par le PPCM des dénominateurs afin d’éliminer les fractions. Le PPCM de 20, 40 et 30 est 120.
Multipliant l’équation (2) par 120 : \[ 120 \times \left( \frac{x}{20} + \frac{y}{40} + \frac{z}{30} \right) = 120 \times 3 \] \[ 6x + 3y + 4z = 360 \quad \text{(2a)} \]
Multipliant l’équation (3) par 120 : \[ 120 \times \left( \frac{x}{40} + \frac{y}{20} + \frac{z}{30} \right) = 120 \times 3.5 \] \[ 3x + 6y + 4z = 420 \quad \text{(3a)} \]
Étape 5 : Résoudre le système d’équations
Nous avons maintenant le système suivant : \[ \begin{cases} x + y + z = 90 \quad \text{(1)} \\ 6x + 3y + 4z = 360 \quad \text{(2a)} \\ 3x + 6y + 4z = 420 \quad \text{(3a)} \end{cases} \]
Méthode d’élimination :
De l’équation (1), exprimons \(z\) en fonction de \(x\) et \(y\) : \[ z = 90 - x - y \quad \text{(4)} \]
Substituons \(z\) de l’équation (4) dans les équations (2a) et (3a) :
Pour l’équation (2a) : \[ 6x + 3y + 4(90 - x - y) = 360 \] \[ 6x + 3y + 360 - 4x - 4y = 360 \] \[ (6x - 4x) + (3y - 4y) + 360 = 360 \] \[ 2x - y = 0 \] \[ 2x = y \quad \text{(5)} \]
Pour l’équation (3a) : \[ 3x + 6y + 4(90 - x - y) = 420 \] \[ 3x + 6y + 360 - 4x - 4y = 420 \] \[ (3x - 4x) + (6y - 4y) + 360 = 420 \] \[ -x + 2y = 60 \quad \text{(6)} \]
Utilisons l’équation (5) dans l’équation (6) : \[ -x + 2(2x) = 60 \] \[ -x + 4x = 60 \] \[ 3x = 60 \] \[ x = 20 \, \text{km} \]
Trouvons \(y\) à l’aide de l’équation (5) : \[ y = 2x = 2 \times 20 = 40 \, \text{km} \]
Enfin, déterminons \(z\) en utilisant l’équation (4) : \[ z = 90 - x - y = 90 - 20 - 40 = 30 \, \text{km} \]
Conclusion : - Longueur des montées : \(20 \, \text{km}\) - Longueur des descentes : \(40 \, \text{km}\) - Longueur du terrain plat : \(30 \, \text{km}\)