Une épicière propose des assortiments préparés pour une salade de fruits :
Les prix sont :
• Pomme : 0,50 CHF
• Orange : 0,40 CHF
• Poire : 0,60 CHF
On obtient ces résultats en éliminant d’abord x et z pour trouver y, puis en éliminant x et y pour trouver z et enfin en remplaçant y et z dans une équation pour trouver x.
Nous voulons déterminer le prix de chaque fruit en attribuant : • x = prix d’une pomme (en CHF) • y = prix d’une orange (en CHF) • z = prix d’une poire (en CHF)
Les assortiments proposés nous donnent trois équations :
Pour le 1ᵉʳ assortiment (3 pommes, 4 oranges, 1 poire à 3,70 CHF) : 3x + 4y + z = 3,70
Pour le 2ᵉ assortiment (3 pommes, 5 oranges, 1 poire à 4,10 CHF) : 3x + 5y + z = 4,10
Pour le 3ᵉ assortiment (3 pommes, 4 oranges, 2 poires à 4,30 CHF) : 3x + 4y + 2z = 4,30
────────────────────────────── Étape 1 : Calcul mental des prix
Pour trouver le prix d’une orange, on soustrait la 1ère équation
de la 2ᵉ.
On a : (3x + 5y + z) – (3x + 4y + z) = 4,10 – 3,70
3x – 3x + 5y – 4y + z – z = 0,40
y = 0,40
Donc, le prix d’une orange est 0,40 CHF.
Pour trouver le prix d’une poire, on soustrait la 1ère équation
de la 3ᵉ.
On a : (3x + 4y + 2z) – (3x + 4y + z) = 4,30 – 3,70
3x – 3x + 4y – 4y + 2z – z = 0,60
z = 0,60
Donc, le prix d’une poire est 0,60 CHF.
Pour trouver le prix d’une pomme, on remplace y et z dans la 1ère
équation.
La 1ère équation est :
3x + 4y + z = 3,70
On remplace y par 0,40 et z par 0,60 :
3x + 4×0,40 + 0,60 = 3,70
3x + 1,60 + 0,60 = 3,70
3x + 2,20 = 3,70
3x = 3,70 – 2,20 = 1,50
x = 1,50 / 3 = 0,50
Ainsi, le prix d’une pomme est 0,50 CHF.
────────────────────────────── Étape 2 : Écriture du système et méthode de résolution
Le système de trois équations à trois inconnues est : (1) 3x + 4y +
z = 3,70
(2) 3x + 5y + z = 4,10
(3) 3x + 4y + 2z = 4,30
La méthode la plus simple pour résoudre ce système est la méthode
d’élimination.
• On soustrait (1) de (2) pour éliminer x et z et retrouver y
directement.
• Ensuite, on soustrait (1) de (3) pour éliminer x et y et retrouver
z.
• Enfin, on remplace y et z dans l’une des équations pour calculer
x.
────────────────────────────── Conclusion :
Les prix des fruits sont : • 1 pomme : 0,50 CHF
• 1 orange : 0,40 CHF
• 1 poire : 0,60 CHF
Le système d’équations est : 3x + 4y + z = 3,70
3x + 5y + z = 4,10
3x + 4y + 2z = 4,30
La méthode d’élimination est recommandée pour résoudre ce système.
Ces étapes permettent de comprendre le raisonnement et de retrouver aisément chacun des prix.