Résoudre les systèmes suivants :
\[ \begin{cases} 0{,}3x + 0{,}3z = 1{,}2 \\ 0{,}1x - 0{,}1z = 0{,}8 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} -w + x - 2 = 0 \\ w + 7 = 0 \\ -y - x = 0 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} -y + z = -2 \\ x = 5 - y \\ 3z = 2y \end{cases} \]
\[ \begin{cases} -y + z = 6 \\ 2x + 2z = 18 \\ 100x + 100z = 400 \end{cases} \]
Solutions des systèmes :
\(x = 6\) et \(z = -2\)
\(w = -7\), \(x = -5\), \(y = 5\)
\(x = -1\), \(y = 6\), \(z = 4\)
Solutions particulières : \(x = 3\), \(y = 0\), \(z = 6\)
Solutions générales : \(x = 3 - y\) et \(z = y + 6\) avec \(y\) libre.
\[ \begin{cases} 0{,}3x + 0{,}3z = 1{,}2 \\ 0{,}1x - 0{,}1z = 0{,}8 \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier les équations
Pour faciliter les calculs, simplifions chaque équation en éliminant les décimales.
\[ 3x + 3z = 12 \]
\[ x - z = 8 \]
Le système simplifié devient :
\[ \begin{cases} 3x + 3z = 12 \\ x - z = 8 \end{cases} \]
Étape 2 : Résoudre la deuxième équation pour \(x\)
\[ x = z + 8 \]
Étape 3 : Substituer \(x\) dans la première équation
Remplaçons \(x\) par \(z + 8\) dans la première équation :
\[ 3(z + 8) + 3z = 12 \]
Développons :
\[ 3z + 24 + 3z = 12 \\ 6z + 24 = 12 \]
Étape 4 : Isoler \(z\)
\[ 6z = 12 - 24 \\ 6z = -12 \\ z = -2 \]
Étape 5 : Trouver \(x\) à partir de \(z\)
\[ x = (-2) + 8 = 6 \]
Solution du système
\[ x = 6 \quad \text{et} \quad z = -2 \]
\[ \begin{cases} -w + x - 2 = 0 \\ w + 7 = 0 \\ -y - x = 0 \end{cases} \]
Étape 1 : Résoudre la deuxième équation pour \(w\)
\[ w + 7 = 0 \\ w = -7 \]
Étape 2 : Substituer \(w\) dans la première équation
Remplaçons \(w\) par \(-7\) dans la première équation :
\[ -(-7) + x - 2 = 0 \\ 7 + x - 2 = 0 \\ x + 5 = 0 \\ x = -5 \]
Étape 3 : Résoudre la troisième équation pour \(y\)
\[ -y - x = 0 \\ -y - (-5) = 0 \\ -y + 5 = 0 \\ -y = -5 \\ y = 5 \]
Solution du système
\[ w = -7, \quad x = -5, \quad y = 5 \]
\[ \begin{cases} -y + z = -2 \\ x = 5 - y \\ 3z = 2y \end{cases} \]
Étape 1 : Exprimer \(z\) en fonction de \(y\) à partir de la première équation
\[ -z = -2 + y \\ z = y - 2 \]
Étape 2 : Substituer \(z\) dans la troisième équation
Remplaçons \(z\) par \(y - 2\) dans la troisième équation :
\[ 3(y - 2) = 2y \\ 3y - 6 = 2y \\ 3y - 2y = 6 \\ y = 6 \]
Étape 3 : Trouver \(z\) à partir de \(y\)
\[ z = 6 - 2 = 4 \]
Étape 4 : Trouver \(x\) à partir de \(y\)
\[ x = 5 - 6 = -1 \]
Solution du système
\[ x = -1, \quad y = 6, \quad z = 4 \]
\[ \begin{cases} -y + z = 6 \\ 2x + 2z = 18 \\ 100x + 100z = 400 \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier les équations
Remarquons que la troisième équation est une multiplication de la deuxième par 50. Cela signifie que la troisième équation n’apporte pas d’information supplémentaire.
Simplifions la deuxième équation en divisant par 2 :
\[ 2x + 2z = 18 \\ x + z = 9 \]
Le système simplifié devient :
\[ \begin{cases} -y + z = 6 \\ x + z = 9 \end{cases} \]
Étape 2 : Exprimer \(z\) en fonction de \(y\) à partir de la première équation
\[ z = y + 6 \]
Étape 3 : Exprimer \(x\) en fonction de \(y\) à partir de la deuxième équation
Remplaçons \(z\) par \(y + 6\) dans la deuxième équation :
\[ x + (y + 6) = 9 \\ x + y + 6 = 9 \\ x + y = 3 \\ x = 3 - y \]
Étape 4 : Résoudre le système
Nous constatons qu’il y a deux variables libre, ce qui signifie que le système a une infinité de solutions dépendant de la valeur choisie pour \(y\). Choisissons une valeur pour \(y\) pour illustrer une solution particulière.
Exemple : Choisissons \(y = 0\)
\[ z = 0 + 6 = 6 \\ x = 3 - 0 = 3 \]
Solution particulière du système
\[ x = 3, \quad y = 0, \quad z = 6 \]
Cependant, toutes les solutions du système peuvent s’exprimer en fonction de \(y\) :
\[ x = 3 - y, \quad z = y + 6 \]
Cela signifie qu’il existe une infinité de solutions où \(y\) peut être n’importe quel réel.
Lors de la résolution de systèmes d’équations, il est important de simplifier les équations lorsque cela est possible et d’utiliser des méthodes comme la substitution ou l’élimination pour trouver les valeurs des variables. Assurez-vous toujours de vérifier vos solutions en les remplaçant dans les équations originales.