Soient deux nombres. Si l’on ajoute trois fois le second au premier, on obtient 90. Si l’on ajoute trois fois le premier au second, on obtient 70. Quels sont ces nombres ?
Le premier nombre est 15 et le second nombre est 25.
On note le premier nombre par x et le second par y. L’énoncé nous donne deux informations sous forme d’équations :
« Si l’on ajoute trois fois le second au premier, on obtient 90 »
se traduit par :
x + 3y = 90
« Si l’on ajoute trois fois le premier au second, on obtient 70 »
se traduit par :
3x + y = 70
Pour résoudre ce système d’équations, nous pouvons utiliser la méthode de substitution.
Étape 1 : Expressons x à partir de la première équation
x + 3y = 90
=> x = 90 − 3y
Étape 2 : Remplaçons x dans la deuxième équation
3x + y = 70
=> 3(90 − 3y) + y = 70
Calculons :
3 × 90 = 270
3 × (−3y) = −9y
L’équation devient :
270 − 9y + y = 70
=> 270 − 8y = 70
Étape 3 : Isolons y
270 − 8y = 70
Soustrayons 270 de chaque côté :
−8y = 70 − 270
=> −8y = −200
Pour trouver y, divisons par −8 :
y = (−200) / (−8)
=> y = 25
Étape 4 : Retrouvons x en utilisant l’expression trouvée
x = 90 − 3y
=> x = 90 − 3 × 25
=> x = 90 − 75
=> x = 15
Vérification :
Pour la première équation : 15 + 3 × 25 = 15 + 75 = 90
Pour la deuxième équation : 3 × 15 + 25 = 45 + 25 = 70
Les deux équations sont satisfaites.
Conclusion :
Le premier nombre est 15 et le second nombre est 25.