Résoudre algébriquement les systèmes d’équations suivants :
\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{2(y - 2)}{7} = 3, \\ 5 \left( \frac{1}{5}y + \frac{3}{4}x \right) = -\frac{y}{2}. \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{x + y}{8} + \frac{x - y}{6} = 5, \\ \frac{x + y}{4} - \frac{x - y}{3} = 10. \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{1}{3}x + 0,3\,y = 2, \\ \frac{5}{6}x + \frac{3}{4}y - 4 = 6. \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{x + 1}{y} = \frac{1}{4}, \\ \frac{x}{y + 1} = \frac{1}{5}. \end{cases} \]
Système 1 : x = 2 et y = –5
Système 2 : x = 20 et y = 20
Système 3 : Pas de solution
Système 4 : x = 5 et y = 24
Nous allons résoudre chacun des systèmes étape par étape en détaillant la méthode employée.
───────────────────────────── Système 1 ───────────────────────────── On vous propose le système suivant :
(1) (1/2)x – [2(y – 2)]/7 = 3
(2) 5[(1/5)y + (3/4)x] = –(y/2)
Étape 1 – Simplifier la première équation
Pour éliminer les fractions, multiplions l’équation (1) par 14 (le PPCM
de 2 et 7) :
14 × (1/2)x = 7x
14 × [2(y – 2)/7] = 2 × 2 × (y – 2) = 4(y – 2)
14 × 3 = 42
L’équation (1) devient :
7x – 4(y – 2) = 42
Développons :
7x – 4y + 8 = 42
7x – 4y = 42 – 8
7x – 4y = 34 (équation A)
Étape 2 – Simplifier la deuxième équation
Commençons par développer la parenthèse de l’équation (2) :
5[(1/5)y + (3/4)x] = 5×(1/5)y + 5×(3/4)x = y + (15/4)x
Ainsi, l’équation (2) s’écrit :
y + (15/4)x = –(y/2)
Rassemblons les termes en y du même côté. Ajouter (y/2) des deux
côtés :
y + (y/2) + (15/4)x = 0
Pour additionner y et y/2, écrivons y = (2y)/2 :
(2y)/2 + (y)/2 = (3y)/2
L’équation devient :
(15/4)x + (3/2)y = 0
Pour éliminer les fractions, multiplions par 4 (le dénominateur le
plus simple) :
15x + 6y = 0
Divisons cette équation par 3 pour simplifier :
5x + 2y = 0 (équation B)
Étape 3 – Résoudre le système (équations A et B)
Nous avons :
(équation A) 7x – 4y = 34
(équation B) 5x + 2y = 0
Isolons y dans (B) :
5x + 2y = 0 ⟹ 2y = –5x ⟹ y = –(5/2)x
Substituons y dans (A) :
7x – 4[–(5/2)x] = 34
7x + (20/2)x = 34
7x + 10x = 34
17x = 34
x = 34/17 = 2
Puis, y = –(5/2)×2 = –5
La solution du système 1 est donc :
x = 2 et y = –5
───────────────────────────── Système 2 ───────────────────────────── Le système est :
(1) (x + y)/8 + (x – y)/6 = 5
(2) (x + y)/4 – (x – y)/3 = 10
Étape 1 – Éliminer les fractions dans la première équation
Le PPCM de 8 et 6 est 24. Multiplions (1) par 24 :
24×[(x + y)/8] = 3(x + y)
24×[(x – y)/6] = 4(x – y)
24×5 = 120
L’équation devient :
3(x + y) + 4(x – y) = 120
Développons :
3x + 3y + 4x – 4y = 120
(3x + 4x) + (3y – 4y) = 7x – y = 120 (équation C)
Étape 2 – Éliminer les fractions dans la deuxième équation
De même, avec le PPCM de 4 et 3 qui est 12, multiplions (2) par 12 :
12×[(x + y)/4] = 3(x + y)
12×[(x – y)/3] = 4(x – y)
12×10 = 120
L’équation devient :
3(x + y) – 4(x – y) = 120
Développons :
3x + 3y – 4x + 4y = (-x) + 7y = 120 (équation D)
Étape 3 – Résoudre le système (équations C et D)
Nous obtenons le système suivant :
(équation C) 7x – y = 120
(équation D) –x + 7y = 120
Pour trouver x et y, nous pouvons exprimer l’un des termes. Par exemple, dans (C) isolons y :
7x – y = 120 ⟹ –y = 120 – 7x ⟹ y = 7x – 120
Substituons y dans (D) :
–x + 7(7x – 120) = 120
–x + 49x – 840 = 120
48x – 840 = 120
Ajoutons 840 à chaque côté :
48x = 960
x = 960/48 = 20
Ensuite, y = 7×20 – 120 = 140 – 120 = 20
La solution du système 2 est donc :
x = 20 et y = 20
───────────────────────────── Système 3 ───────────────────────────── Le système proposé est :
(1) (1/3)x + 0,3y = 2
(2) (5/6)x + (3/4)y – 4 = 6
Étape 1 – Transformer l’équation (1)
Notez que 0,3 s’exprime aussi en fraction comme 3/10. Ainsi, l’équation
(1) s’écrit :
x/3 + (3/10)y = 2
Pour éliminer les fractions, multiplions par 30 (le PPCM de 3 et 10)
:
30×(x/3) = 10x
30×((3/10)y) = 9y
30×2 = 60
L’équation devient :
10x + 9y = 60 (équation E)
Étape 2 – Transformer l’équation (2)
Commencez par isoler les termes en x et y dans (2) :
(5/6)x + (3/4)y – 4 = 6
Ajoutons 4 des deux côtés :
(5/6)x + (3/4)y = 10
Multiplions par 12 (PPCM de 6 et 4) :
12×(5/6)x = 10x
12×(3/4)y = 9y
12×10 = 120
L’équation devient :
10x + 9y = 120 (équation F)
Étape 3 – Analyser le système
Nous avons maintenant :
(équation E) 10x + 9y = 60
(équation F) 10x + 9y = 120
Les deux équations donnent la même combinaison linéaire de x et y, mais avec des constantes différentes. Ces deux équations ne peuvent être vraies en même temps pour une même paire (x, y).
Ainsi, le système 3 est incompatibles (aucune solution).
───────────────────────────── Système 4 ───────────────────────────── Le système est :
(1) (x + 1)/y = 1/4
(2) x/(y + 1) = 1/5
Étape 1 – Résoudre la première équation
L’équation (1) se transforme en multipliant par y :
x + 1 = y/4
Multiplions ensuite par 4 pour isoler y :
4(x + 1) = y (équation G)
Étape 2 – Résoudre la deuxième équation
De même, multiplions (2) par (y + 1) :
x = (y + 1)/5
Multiplions par 5 :
5x = y + 1 ⟹ y = 5x – 1 (équation H)
Étape 3 – Égaliser les expressions de y
On a d’une part y = 4(x + 1) et d’autre part y = 5x – 1.
Égalisons ces deux expressions :
4(x + 1) = 5x – 1
Développons la gauche :
4x + 4 = 5x – 1
Soustrayons 4x à droite :
4 = x – 1
Puis, ajoutons 1 des deux côtés :
x = 5
Étape 4 – Trouver y
Utilisons l’équation H :
y = 5×5 – 1 = 25 – 1 = 24
(On peut vérifier avec l’équation G : 4(5 + 1) = 4×6 = 24)
La solution du système 4 est donc :
x = 5 et y = 24
───────────────────────────── Conclusion
Pour le premier système, la solution est : x = 2, y = –5.
Pour le deuxième système, la solution est : x = 20, y = 20.
Pour le troisième système, aucune solution ne satisfait les deux équations.
Pour le quatrième système, la solution est : x = 5, y = 24.
Chaque étape a été détaillée afin de montrer le raisonnement mis en œuvre pour obtenir les solutions.