Résoudre par substitution les systèmes d’équations suivants :
\[ \begin{cases} x = 2 - y \\ 2x = 4 - y \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y = 3x + 2 \\ y = x - 4 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x = 5y - 6 \\ x = y - 10 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = 3y - 7 \\ 2x = 4y - 6 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = \dfrac{1}{2}y - 1 \\ 2x = y - 4 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y = 3x \\ y = x - 12 \end{cases} \]
Résumé très court des solutions :
Voici les corrections détaillées pour résoudre chaque système par la méthode de substitution :
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Système 1 :
Équations :
(1) x = 2 – y
(2) 2x = 4 – y
Étape 1 : Remplacer x de (1) dans (2).
On a x = 2 – y, donc : 2(2 – y) = 4 – y
Étape 2 : Développer et simplifier.
2 × 2 = 4 et 2 × (–y) = –2y, donc : 4 – 2y = 4 – y
Étape 3 : Isoler y.
Soustrayons 4 des deux côtés :
4 – 2y – 4 = 4 – y – 4
–2y = –y
Ajouter y aux deux côtés :
–2y + y = –y + y
–y = 0 ⇒ y = 0
Étape 4 : Remplacer y dans (1) pour trouver x.
x = 2 – 0 = 2
Solution du système 1 :
x = 2, y = 0
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Système 2 :
Équations :
(1) y = 3x + 2
(2) y = x – 4
Étape 1 : Les deux expressions de y sont égales, donc on écrit
:
3x + 2 = x – 4
Étape 2 : Isoler x.
Soustrayons x de chaque côté :
3x – x + 2 = –4
2x + 2 = –4
Soustrayons 2 :
2x = –6
Divisons par 2 :
x = –3
Étape 3 : Remplacer x dans (2) pour trouver y.
y = (–3) – 4 = –7
Solution du système 2 :
x = –3, y = –7
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Système 3 :
Équations :
(1) 3x = 5y – 6
(2) x = y – 10
Étape 1 : Remplacer x de (2) dans (1).
On a x = y – 10, alors :
3(y – 10) = 5y – 6
Étape 2 : Développer et simplifier.
3y – 30 = 5y – 6
Étape 3 : Regrouper les termes en y.
Soustrayons 3y aux deux côtés :
–30 = 2y – 6
Ajoutons 6 aux deux côtés :
–24 = 2y
Divisons par 2 :
y = –12
Étape 4 : Remplacer y dans (2).
x = (–12) – 10 = –22
Solution du système 3 :
x = –22, y = –12
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Système 4 :
Équations :
(1) x = 3y – 7
(2) 2x = 4y – 6
Étape 1 : Remplacer x de (1) dans (2).
Substituons :
2(3y – 7) = 4y – 6
Étape 2 : Développer et simplifier.
6y – 14 = 4y – 6
Soustrayons 4y aux deux côtés :
6y – 4y – 14 = –6
2y – 14 = –6
Ajoutons 14 :
2y = 8
Divisons par 2 :
y = 4
Étape 3 : Remplacer y dans (1) pour trouver x.
x = 3 × 4 – 7 = 12 – 7 = 5
Solution du système 4 :
x = 5, y = 4
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Système 5 :
Équations :
(1) x = (1/2)y – 1
(2) 2x = y – 4
Étape 1 : Remplacer x de (1) dans (2).
On a x = (1/2)y – 1, donc :
2[(1/2)y – 1] = y – 4
Étape 2 : Calculer le côté gauche.
2 × (1/2)y = y et 2 × (–1) = –2, ainsi :
y – 2 = y – 4
Étape 3 : Rechercher la valeur de y.
Si l’on soustrait y des deux côtés, on obtient :
–2 = –4
Cette égalité est fausse.
Il n’existe aucune solution vérifiant les deux équations
simultanément.
Solution du système 5 :
Aucune solution
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Système 6 :
Équations :
(1) y = 3x
(2) y = x – 12
Étape 1 : Égaliser les deux expressions de y.
3x = x – 12
Étape 2 : Isoler x.
Soustrayons x à chacun des côtés :
3x – x = –12
2x = –12
Divisons par 2 :
x = –6
Étape 3 : Remplacer x dans (1) pour trouver y.
y = 3 × (–6) = –18
Solution du système 6 :
x = –6, y = –18
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En résumé, les solutions des systèmes d’équations sont :
Chaque solution a été obtenue en isolant une variable et en la substituant dans l’autre équation, étape par étape.