Exercice 78
Résoudre graphiquement les systèmes d’équations suivants :
\[ \begin{cases} \dfrac{2}{3}x - y = 2 \\ \dfrac{1}{3}x - 2y = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 0,5\,x - 3\,y = 4 \\ 2\,x - \dfrac{1}{2}\,y = \dfrac{9}{2} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \dfrac{1}{2}\,x + \dfrac{2}{3}\,y = -1 \\ \dfrac{1}{3}\,x + \dfrac{1}{3}\,y = 1 \end{cases} \]
- \[ \begin{cases} 2\,x - \dfrac{1}{2}\,y = 4 \\ 4\,x - y = 8 \end{cases} \]
- \[ \begin{cases} x = -4 \\ 4\,y + 3\,x = 8 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2\,x - 3\,y = 6 \\ y = 2 \end{cases} \]
Réponse
Résumé des Solutions
Exercice 1 : \((3,\ 0)\)
Exercice 2.a : \((2,\ -1)\)
Exercice 2.b : \((-18,\ 12)\)
Exercice 3.a : Infinité de solutions sur la droite \(y = 4x - 8\)
Exercice 4.a : \((-4,\ 5)\)
Exercice 5 : \((6,\ 2)\)
Corrigé détaillé
Correction des Exercices sur les Systèmes d’Équations Résolus Graphiquement
Exercice 1
Énoncé : Résoudre graphiquement le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} \dfrac{2}{3}x - y = 2 \\ \dfrac{1}{3}x - 2y = 1 \end{cases} \]
Correction :
Pour résoudre ce système graphiquement, nous allons d’abord exprimer chaque équation sous la forme \(y = ax + b\), ce qui nous permettra de tracer les droites correspondantes et de déterminer leur point d’intersection.
Première équation : \(\dfrac{2}{3}x - y = 2\)
Isolons \(y\) :
\[ \dfrac{2}{3}x - 2 = y \quad \text{ou} \quad y = \dfrac{2}{3}x - 2 \]
Deuxième équation : \(\dfrac{1}{3}x - 2y = 1\)
Isolons \(y\) :
\[ \dfrac{1}{3}x - 1 = 2y \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{1}{6}x - \dfrac{1}{2} \]
Maintenant, nous avons les deux équations sous forme \(y = ax + b\) :
\[ \begin{cases} y = \dfrac{2}{3}x - 2 \\ y = \dfrac{1}{6}x - \dfrac{1}{2} \end{cases} \]
Pour trouver le point d’intersection des deux droites, égalisons les deux expressions de \(y\) :
\[ \dfrac{2}{3}x - 2 = \dfrac{1}{6}x - \dfrac{1}{2} \]
Résolvons cette équation pour \(x\) :
\[ \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{6}x = -\dfrac{1}{2} + 2 \]
\[ \dfrac{4}{6}x - \dfrac{1}{6}x = \dfrac{3}{2} \]
\[ \dfrac{3}{6}x = \dfrac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2} \]
\[ x = 3 \]
Maintenant, substituons \(x = 3\) dans l’une des équations pour trouver \(y\) :
\[ y = \dfrac{2}{3} \times 3 - 2 = 2 - 2 = 0 \]
Solution : Le système admet une unique solution au point \((3,\ 0)\).
Exercice 2
2.a
Énoncé : Résoudre graphiquement le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} 0,5\,x - 3\,y = 4 \\ 2\,x - \dfrac{1}{2}\,y = \dfrac{9}{2} \end{cases} \]
Correction :
Première équation : \(0,5x - 3y = 4\)
Transformons en \(y = ax + b\) :
\[ -3y = -0,5x + 4 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{0,5}{3}x - \dfrac{4}{3} \]
Simplifions :
\[ y = \dfrac{1}{6}x - \dfrac{4}{3} \]
Deuxième équation : \(2x - \dfrac{1}{2}y = \dfrac{9}{2}\)
Transformons en \(y = ax + b\) :
\[ -\dfrac{1}{2}y = -2x + \dfrac{9}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 4x - 9 \]
Maintenant, les deux équations sont :
\[ \begin{cases} y = \dfrac{1}{6}x - \dfrac{4}{3} \\ y = 4x - 9 \end{cases} \]
Égalisons les deux expressions de \(y\) :
\[ \dfrac{1}{6}x - \dfrac{4}{3} = 4x - 9 \]
Résolvons pour \(x\) :
\[ \dfrac{1}{6}x - 4x = -9 + \dfrac{4}{3} \]
Simplifions les coefficients de \(x\) :
\[ -\dfrac{23}{6}x = -\dfrac{23}{3} \]
\[ x = \dfrac{-\dfrac{23}{3}}{-\dfrac{23}{6}} = \dfrac{2}{1} = 2 \]
Substituons \(x = 2\) dans la première équation pour trouver \(y\) :
\[ y = \dfrac{1}{6} \times 2 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{6} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{3} = -1 \]
Solution : Le système admet une unique solution au point \((2,\ -1)\).
2.b
Énoncé : Résoudre graphiquement le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} \dfrac{1}{2}\,x + \dfrac{2}{3}\,y = -1 \\ \dfrac{1}{3}\,x + \dfrac{1}{3}\,y = 1 \end{cases} \]
Correction :
Première équation : \(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{2}{3}y = -1\)
Transformons en \(y = ax + b\) :
\[ \dfrac{2}{3}y = -\dfrac{1}{2}x -1 \quad \Rightarrow \quad y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{2} \]
Deuxième équation : \(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}y = 1\)
Transformons en \(y = ax + b\) :
\[ \dfrac{1}{3}y = -\dfrac{1}{3}x + 1 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 3 \]
Maintenant, les deux équations sont :
\[ \begin{cases} y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{2} \\ y = -x + 3 \end{cases} \]
Égalisons les deux expressions de \(y\) :
\[ -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{2} = -x + 3 \]
Résolvons pour \(x\) :
\[ -x + \dfrac{3}{4}x = 3 + \dfrac{3}{2} \]
\[ -\dfrac{1}{4}x = \dfrac{9}{2} \]
\[ x = \dfrac{9}{2} \times (-4) = -18 \]
Substituons \(x = -18\) dans la première équation pour trouver \(y\) :
\[ y = -\dfrac{3}{4} \times (-18) - \dfrac{3}{2} = \dfrac{54}{4} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{27}{2} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{24}{2} = 12 \]
Solution : Le système admet une unique solution au point \((-18,\ 12)\).
Exercice 3
3.a
Énoncé : Résoudre graphiquement le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} 2\,x - \dfrac{1}{2}\,y = 4 \\ 4\,x - y = 8 \end{cases} \]
Correction :
Première équation : \(2x - \dfrac{1}{2}y = 4\)
Transformons en \(y = ax + b\) :
\[ -\dfrac{1}{2}y = -2x + 4 \quad \Rightarrow \quad y = 4x - 8 \]
Deuxième équation : \(4x - y = 8\)
Transformons en \(y = ax + b\) :
\[ -y = -4x + 8 \quad \Rightarrow \quad y = 4x - 8 \]
Les deux équations obtenues sont identiques :
\[ y = 4x - 8 \]
Cela signifie que les deux droites sont superposées.
Conclusion : Le système admet une infinité de solutions, toutes les solutions étant les points de la droite \(y = 4x - 8\).
Exercice 4
4.a
Énoncé : Résoudre graphiquement le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} x = -4 \\ 4\,y + 3\,x = 8 \end{cases} \]
Correction :
Première équation : \(x = -4\)
Cette équation représente une droite verticale passant par \(x = -4\).
Deuxième équation : \(4y + 3x = 8\)
Transformons en \(y = ax + b\) :
\[ 4y = -3x + 8 \quad \Rightarrow \quad y = -\dfrac{3}{4}x + 2 \]
Maintenant, nous devons déterminer le point d’intersection des deux droites.
Comme la première équation fixe \(x = -4\), substituons cette valeur dans la seconde équation pour trouver \(y\) :
\[ y = -\dfrac{3}{4} \times (-4) + 2 = 3 + 2 = 5 \]
Solution : Le système admet une unique solution au point \((-4,\ 5)\).
Exercice 5
Énoncé : Résoudre graphiquement le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} 2\,x - 3\,y = 6 \\ y = 2 \end{cases} \]
Correction :
Première équation : \(2x - 3y = 6\)
Transformons en \(y = ax + b\) :
\[ -3y = -2x + 6 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{2}{3}x - 2 \]
Deuxième équation : \(y = 2\)
Cette équation représente une droite horizontale passant par \(y = 2\).
Pour trouver le point d’intersection, substituons \(y = 2\) dans la première équation :
\[ 2 = \dfrac{2}{3}x - 2 \]
Résolvons pour \(x\) :
\[ 2 + 2 = \dfrac{2}{3}x \quad \Rightarrow \quad 4 = \dfrac{2}{3}x \]
\[ x = 4 \times \dfrac{3}{2} = 6 \]
Solution : Le système admet une unique solution au point \((6,\ 2)\).