Il y a 55 ans, l’âge d’un père était supérieur de 25 ans à celui de son fils. Dans 14 ans, l’âge du fils sera égal aux trois quarts de celui de son père. Quels sont les âges du père et du fils ?
Le père a 86 ans et le fils a 61 ans.
Pour déterminer les âges actuels du père et du fils, suivons les étapes ci-dessous.
Selon l’énoncé, il y a 55 ans, l’âge du père était supérieur de 25 ans à celui du fils. On peut donc écrire :
\[ F - 55 = (S - 55) + 25 \]
Simplifions cette équation :
\[ F - 55 = S - 30 \\ F = S + 25 \quad \text{(1)} \]
Selon l’énoncé, dans 14 ans, l’âge du fils sera égal aux trois quarts de celui du père. Cela se traduit par :
\[ S + 14 = \frac{3}{4}(F + 14) \]
Nous avons les deux équations suivantes :
\[ \begin{cases} F = S + 25 \quad \text{(1)} \\ S + 14 = \frac{3}{4}(F + 14) \quad \text{(2)} \end{cases} \]
Remplaçons \(F\) par \(S + 25\) dans l’équation (2) :
\[ S + 14 = \frac{3}{4}((S + 25) + 14) \\ S + 14 = \frac{3}{4}(S + 39) \]
Multipliant les deux côtés de l’équation par 4 pour se débarrasser du dénominateur :
\[ 4(S + 14) = 3(S + 39) \\ 4S + 56 = 3S + 117 \]
Soustrayons \(3S\) des deux côtés :
\[ 4S - 3S + 56 = 117 \\ S + 56 = 117 \]
Soustrayons 56 des deux côtés :
\[ S = 117 - 56 \\ S = 61 \]
\[ F = S + 25 \\ F = 61 + 25 \\ F = 86 \]
Vérifions la différence :
\[ 31 - 6 = 25 \quad \text{(correspond à l'énoncé)} \]
Vérifions la relation :
\[ 75 = \frac{3}{4} \times 100 \\ 75 = 75 \quad \text{(correspond à l'énoncé)} \]
Le père a 86 ans et le fils a 61 ans.