L’âge d’une fille est le \(\frac{1}{5}\) de l’âge de son père. Il y a cinq ans, l’âge de la fille n’était que le \(\frac{1}{9}\) de l’âge de son père. Quels sont les âges du père et de sa fille ?
Le père a 50 ans et sa fille a 10 ans.
Pour résoudre ce problème, nous allons suivre une démarche méthodique en définissant des variables, en établissant des équations et en résolvant ce système d’équations. Voici les étapes détaillées :
Première information : L’âge de la fille est le \(\frac{1}{5}\) de l’âge de son père.
Cela se traduit par l’équation : \[ f = \frac{1}{5}p \] Ou, de manière équivalente : \[ p = 5f \]
Deuxième information : Il y a cinq ans, l’âge de la fille n’était que le \(\frac{1}{9}\) de l’âge de son père.
Cette information se traduit par l’équation : \[ f - 5 = \frac{1}{9}(p - 5) \]
Nous avons donc le système : \[ \begin{cases} f = \frac{1}{5}p \\ f - 5 = \frac{1}{9}(p - 5) \end{cases} \]
Remplaçons \(f\) dans la deuxième équation par \(\frac{1}{5}p\) (dérivé de la première équation) : \[ \frac{1}{5}p - 5 = \frac{1}{9}(p - 5) \]
Pour éliminer les fractions, multiplions chaque terme par 45 (le PPCM de 5 et 9) : \[ 45 \times \left( \frac{1}{5}p - 5 \right) = 45 \times \frac{1}{9}(p - 5) \] \[ 9p - 225 = 5(p - 5) \]
Développons le côté droit : \[ 9p - 225 = 5p - 25 \]
Isolons les termes en \(p\) d’un côté et les constantes de l’autre : \[ 9p - 5p = -25 + 225 \] \[ 4p = 200 \]
Divisons par 4 : \[ p = 50 \]
Maintenant que nous connaissons \(p\), calculons \(f\) en utilisant la première équation : \[ f = \frac{1}{5} \times 50 = 10 \]
Vérifions rapidement si ces valeurs respectent les conditions initiales :
Les solutions sont donc correctes.