Aline et Jean ont ensemble 40 billes. Aline dit à Jean : « Si tu me donnes 5 billes, j’en aurai trois fois plus que toi. » Combien de billes ont-ils chacun ?
Aline possède 25 billes et Jean en possède 15. La somme est 40 billes et après le transfert, Aline a trois fois plus de billes que Jean.
Pour résoudre ce problème, suivons les étapes suivantes :
Aline et Jean ont ensemble 40 billes. Aline dit à Jean : « Si tu me donnes 5 billes, j’en aurai trois fois plus que toi. » Combien de billes ont-ils chacun ?
Commençons par définir nos variables :
Nous avons deux informations principales dans le problème :
Leur nombre total de billes :
\[ A + J = 40 \]
La condition après le transfert de billes :
Si Jean donne 5 billes à Aline :
Selon l’énoncé, à ce moment-là, Aline aura trois fois plus de billes que Jean. Donc :
\[ A + 5 = 3 \times (J - 5) \]
Nous avons donc le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} A + J = 40 \\ A + 5 = 3(J - 5) \end{cases} \]
a. Simplifions la deuxième équation :
\[ A + 5 = 3J - 15 \]
En soustrayant 5 des deux côtés :
\[ A = 3J - 20 \]
b. Substituons \(A\) dans la première équation :
\[ (3J - 20) + J = 40 \]
Simplifions :
\[ 4J - 20 = 40 \]
Ajoutons 20 des deux côtés :
\[ 4J = 60 \]
Divisons par 4 :
\[ J = 15 \]
c. Déterminons \(A\) :
Utilisons \(A = 3J - 20\) :
\[ A = 3 \times 15 - 20 = 45 - 20 = 25 \]
Vérifions si ces valeurs satisfont les conditions du problème :
Total des billes :
\[ 25 + 15 = 40 \quad \text{✓} \]
Après le transfert de 5 billes de Jean à Aline :
Vérifions si \(30 = 3 \times 10\) :
\[ 30 = 30 \quad \text{✓} \]
Les valeurs trouvées sont donc correctes.