Exercice 72

Représentez sur le même système d’axes les droites dont les équations sont :

• \(y = \dfrac{1}{2}x + 4\),
• \(y = -x + 7\),
• \(y = 2x - 11\).

Déterminez graphiquement les coordonnées des sommets du triangle formé par ces trois droites. Calculez l’aire de ce triangle.

Réponse

Les sommets du triangle sont A (2, 5), B (10, 9) et C (6, 1). L’aire du triangle est de 24 unités carrées.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons résoudre ce problème en plusieurs étapes :

1. Représentation des droites sur un système d’axes.
2. Détermination des points d’intersection des droites pour trouver les sommets du triangle.
3. Calcul de l’aire du triangle formé par ces sommets.

1. Représentation des Droites

Les équations des trois droites sont :

• \(y = \dfrac{1}{2}x + 4\) : Cette droite a une pente de \(\dfrac{1}{2}\) et une ordonnée à l’origine de 4.
• \(y = -x + 7\) : Cette droite a une pente de -1 et une ordonnée à l’origine de 7.
• \(y = 2x - 11\) : Cette droite a une pente de 2 et une ordonnée à l’origine de -11.

Sur un graphique, chaque droite sera tracée en utilisant sa pente et son ordonnée à l’origine. Toutefois, pour cette correction, nous allons nous concentrer sur les calculs algébriques.

2. Détermination des Points d’Intersection

Les sommets du triangle sont les points d’intersection des paires de droites. Nous allons résoudre les systèmes d’équations pour chaque paire.

A. Intersection de \(y = \dfrac{1}{2}x + 4\) et \(y = -x + 7\)

Égalisons les deux expressions de \(y\) :

\[ \dfrac{1}{2}x + 4 = -x + 7 \]

Résolvons cette équation pour \(x\) :

\[ \dfrac{1}{2}x + x = 7 - 4 \\ \dfrac{3}{2}x = 3 \\ x = 3 \times \dfrac{2}{3} \\ x = 2 \]

Maintenant, trouvons \(y\) en remplaçant \(x = 2\) dans l’une des équations, par exemple \(y = -x + 7\) :

\[ y = -2 + 7 \\ y = 5 \]

Point d’intersection A : \((2,\ 5)\)

B. Intersection de \(y = \dfrac{1}{2}x + 4\) et \(y = 2x - 11\)

Égalisons les deux expressions de \(y\) :

\[ \dfrac{1}{2}x + 4 = 2x - 11 \]

Résolvons cette équation pour \(x\) :

\[ 4 + 11 = 2x - \dfrac{1}{2}x \\ 15 = \dfrac{3}{2}x \\ x = 15 \times \dfrac{2}{3} \\ x = 10 \]

Maintenant, trouvons \(y\) en remplaçant \(x = 10\) dans l’une des équations, par exemple \(y = 2x - 11\) :

\[ y = 2 \times 10 - 11 \\ y = 20 - 11 \\ y = 9 \]

Point d’intersection B : \((10,\ 9)\)

C. Intersection de \(y = -x + 7\) et \(y = 2x - 11\)

Égalisons les deux expressions de \(y\) :

\[ -x + 7 = 2x - 11 \]

Résolvons cette équation pour \(x\) :

\[ 7 + 11 = 2x + x \\ 18 = 3x \\ x = 6 \]

Maintenant, trouvons \(y\) en remplaçant \(x = 6\) dans l’une des équations, par exemple \(y = -x + 7\) :

\[ y = -6 + 7 \\ y = 1 \]

Point d’intersection C : \((6,\ 1)\)

3. Calcul de l’Aire du Triangle

Nous avons les trois sommets du triangle :

• A \((2,\ 5)\)
• B \((10,\ 9)\)
• C \((6,\ 1)\)

Pour calculer l’aire du triangle formé par ces trois points, nous pouvons utiliser la formule suivante :

\[ \text{Aire} = \dfrac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right| \]

Remplaçons les valeurs :

\[ \text{Aire} = \dfrac{1}{2} \left| 2(9 - 1) + 10(1 - 5) + 6(5 - 9) \right| \]

Calculons chaque terme :

\[ 2(9 - 1) = 2 \times 8 = 16 \\ 10(1 - 5) = 10 \times (-4) = -40 \\ 6(5 - 9) = 6 \times (-4) = -24 \]

Sommons ces valeurs :

\[ 16 - 40 - 24 = -48 \]

Prenons la valeur absolue :

\[ \left| -48 \right| = 48 \]

Enfin, calculons l’aire :

\[ \text{Aire} = \dfrac{1}{2} \times 48 = 24 \]

L’aire du triangle est de 24 unités carrées.

Résumé des Résultats

• Sommets du triangle :
  • A \((2,\ 5)\)
  • B \((10,\ 9)\)
  • C \((6,\ 1)\)
• Aire du triangle : \(24\) unités carrées.

Conclusion

En suivant ces étapes, nous avons déterminé les points d’intersection des droites pour former le triangle et calculé son aire. Cette méthode utilise les principes de base de l’algèbre et de la géométrie afin de résoudre des problèmes similaires.