Exercice 71

Question :

Une boîte et un sac pèsent chacun une certaine masse. La boîte dit : « Si je prends 2 kilogrammes de ton poids, ma masse sera égale à celle de ton sac. » Le sac répond : « Si tu me donnes 3 kilogrammes de ta masse, je serai le double de la tienne. »

Quelles sont les masses de la boîte et du sac ?

Réponse

La boîte pèse 13 kilogrammes et le sac 17 kilogrammes.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Nous devons déterminer les masses de la boîte et du sac en traduisant les affirmations données en équations mathématiques et en résolvant ce système d’équations.

Étape 1 : Définir les inconnues

• Soit \(B\) la masse de la boîte (en kilogrammes).
• Soit \(S\) la masse du sac (en kilogrammes).

Étape 2 : Traduire les affirmations en équations

1. Première affirmation de la boîte :

   « Si je prends 2 kilogrammes de ton poids, ma masse sera égale à celle de ton sac. »

   • La boîte prend 2 kg du sac, donc sa nouvelle masse sera \(B + 2\).

   • Le sac perd 2 kg, donc sa nouvelle masse sera \(S - 2\).

   • Selon l’affirmation, ces deux nouvelles masses sont égales :

     \[ B + 2 = S - 2 \]

   Simplifions cette équation :

   \[ B - S = -4 \quad \text{(Équation 1)} \]

2. Deuxième affirmation du sac :

   « Si tu me donnes 3 kilogrammes de ta masse, je serai le double de la tienne. »

   • Le sac reçoit 3 kg de la boîte, donc sa nouvelle masse sera \(S + 3\).

   • La boîte perd 3 kg, donc sa nouvelle masse sera \(B - 3\).

   • Selon l’affirmation, la masse du sac devient le double de celle de la boîte :

     \[ S + 3 = 2(B - 3) \]

   Développons cette équation :

   \[ S + 3 = 2B - 6 \]

   \[ S - 2B = -9 \quad \text{(Équation 2)} \]

Étape 3 : Résoudre le système d’équations

Nous avons le système suivant :

\[ \begin{cases} B - S = -4 \quad \text{(Équation 1)} \\ -2B + S = -9 \quad \text{(Équation 2)} \end{cases} \]

Pour résoudre ce système, utilisons la méthode d’addition :

1. Additionnons les deux équations pour éliminer \(S\) :

\[ \begin{align*} (B - S) + (-2B + S) &= -4 + (-9) \\ - B &= -13 \\ B &= 13 \end{align*} \]

2. Maintenant que nous connaissons \(B = 13\), substituons cette valeur dans l’Équation 1 pour trouver \(S\) :

\[ 13 - S = -4 \]

\[ - S = -4 - 13 \]

\[ - S = -17 \]

\[ S = 17 \]

Étape 4 : Vérification des solutions

Vérifions les valeurs trouvées dans les deux affirmations initiales.

1. Première affirmation :

   \[ B + 2 = 13 + 2 = 15 \\ S - 2 = 17 - 2 = 15 \]

   Donc, \(15 = 15\) : vérifié.

2. Deuxième affirmation :

   \[ S + 3 = 17 + 3 = 20 \\ 2(B - 3) = 2(13 - 3) = 2 \times 10 = 20 \]

   Donc, \(20 = 20\) : vérifié.

Conclusion :

• La masse de la boîte est de 13 kilogrammes.
• La masse du sac est de 17 kilogrammes.