Résoudre les systèmes suivants :
\[ \begin{cases} q = 2 - p \\ 11 + 3q = 2r \\ \frac{2}{5}p + r = 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = -3z \\ \frac{x}{3} - \frac{y}{5} - 4z = 4 \\ 2x - 18 = -\frac{9y}{5} + 3z \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + y = 18 - z \\ \frac{2}{3} = \frac{x}{y} \\ \frac{2}{y + z} = \frac{1}{x} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{x}{3} + 2y + z = 1 \\ \frac{-3z}{5} - \frac{3}{2} = -\frac{4x}{5} - y \\ z = -x + \frac{4}{3} y \end{cases} \]
Solution résumée :
1) p = 5, q = –3, r = 1
2) x = 3, y = 5, z = –1
3) x = 6, y = 9, z = 3
4) x = 1, y = ½, z = –⅓
Nous allons résoudre chacun des systèmes étape par étape en expliquant toutes les démarches.
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Système 1
On considère le système suivant : (1) q = 2 – p
(2) 11 + 3q = 2r
(3) (2/5)p + r = 3
1. À partir de (1), on a directement q exprimé en fonction de p : q = 2 – p.
2. Substituons cette expression dans (2) : 11 + 3(2 – p) = 2r
11 + 6 – 3p = 2r
17 – 3p = 2r
Ainsi, r = (17 – 3p)/2.
3. Utilisons maintenant (3) en remplaçant r par (17 – 3p)/2 :
(2/5)p + (17 – 3p)/2 = 3. Pour éliminer les dénominateurs,
multiplions toute l’équation par 10 (le plus petit commun multiple de 5
et 2) : 10 × (2/5)p + 10 × (17 – 3p)/2 = 10 × 3
→ 4p + 5(17 – 3p) = 30. Développons : 4p + 85 – 15p = 30
Regroupons les termes en p : –11p + 85 = 30. Soustrayons 85 des
deux côtés : –11p = 30 – 85 = –55. Divisons par –11 : p =
(–55)/(–11) = 5.
4. On déduit alors : q = 2 – p = 2 – 5 = –3
r = (17 – 3×5)/2 = (17 – 15)/2 = 2/2 = 1.
Ainsi, la solution du système 1 est :
p = 5 q = –3 r = 1
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Système 2
On considère le système suivant : (1) x = –3z
(2) (x/3) – (y/5) – 4z = 4
(3) 2x – 18 = –(9y)/5 + 3z
1. D’abord, de (1) on sait que
x = –3z.
2. Remplaçons x dans (2) : (–3z)/3 – (y/5) – 4z = 4
→ –z – (y/5) – 4z = 4
→ –5z – (y/5) = 4. Pour éliminer la fraction, multiplions par 5 :
–25z – y = 20. Nous pouvons réécrire cette relation pour exprimer y
en fonction de z : y = –25z – 20.
3. Utilisons maintenant (3) en remplaçant x par –3z : 2(–3z) – 18 =
–(9y)/5 + 3z
→ –6z – 18 = –(9y)/5 + 3z. Puis, remplaçons y par –25z – 20 : –6z
– 18 = –(9(–25z – 20))/5 + 3z
= (9(25z + 20))/5 + 3z. Calculons les termes : (9×25z)/5 =
45z et (9×20)/5 = 36
donc l’équation devient : –6z – 18 = 45z + 36 + 3z
→ –6z – 18 = 48z + 36. Amenez les termes en z d’un côté : –6z –
48z = 36 + 18
→ –54z = 54
Divisons par –54 : z = –1.
4. Dès lors, on déduit : x = –3z = –3(–1) = 3
y = –25z – 20 = –25(–1) – 20 = 25 – 20 = 5.
La solution du système 2 est :
x = 3 y = 5 z = –1
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Système 3
On considère le système suivant : (1) x + y = 18 – z
(2) (2/3) = x/y
(3) 2/(y + z) = 1/x
1. À partir de (2), on peut écrire :
x = (2/3) y.
2. Remplaçons cette expression dans (1) : (2/3)y + y = 18 – z
→ (2y + 3y)/3 = 18 – z
→ (5y)/3 = 18 – z
D’où, z = 18 – (5/3)y.
3. Utilisons (3) en remplaçant x et en exprimant y + z : L’équation
(3) est : 2/(y + z) = 1/x, avec x = (2/3)y
donc 1/x = 3/(2y). N’oublions pas que z = 18 – (5/3)y, ainsi : y +
z = y + 18 – (5/3)y = 18 + ( (3y – 5y)/3 ) = 18 – (2/3)y. L’équation
devient : 2/(18 – (2/3)y) = 3/(2y). Pour résoudre, effectuons un
produit en croix : 2 × (2y) = 3 × (18 – (2/3)y)
→ 4y = 54 – 2y.
Additionnons 2y aux deux côtés : 6y = 54
d’où y = 54/6 = 9.
4. Dès lors,
x = (2/3) y = (2/3)×9 = 6
z = 18 – (5/3) y = 18 – (5/3)×9 = 18 – 15 = 3.
La solution du système 3 est :
x = 6 y = 9 z = 3
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Système 4
On considère le système suivant : (1) (x/3) + 2y + z = 1
(2) (–3z)/5 – (3/2) = –(4x)/5 – y
(3) z = –x + (4/3)y
1. À partir de (3), on a l’expression de z en fonction de x et y : z = –x + (4/3)y. Nous allons remplacer z dans (1) et (2).
2. Remplaçons z dans (1) : (x/3) + 2y + (–x + (4/3)y) = 1
Rassemblons les termes en x et y séparément : pour x : (x/3 – x) =
(x/3 – 3x/3) = –(2x)/3
pour y : 2y + (4/3)y = (6y/3 + 4y/3) = (10y)/3
L’équation devient : –(2/3)x + (10/3)y = 1
Multiplions par 3 pour éliminer le dénominateur : –2x + 10y =
3.
Nous pouvons exprimer x en fonction de y : –2x = 3 – 10y ⟹ x = (10y
– 3)/2.
3. Remplaçons z dans (2) : (–3z)/5 – (3/2) = –(4x)/5 – y. On
remplace z par –x + (4/3)y : → (–3(–x + (4/3)y))/5 – (3/2) = –(4x)/5 –
y. Calculons le numérateur à gauche : –3(–x) = 3x
–3×(4/3)y = –4y
donc l’expression devient : (3x – 4y)/5 – (3/2) = –(4x)/5 – y.
Pour se débarrasser des fractions, multiplions toute l’équation par 10
(le PPCM de 5 et 2) : 10×((3x – 4y)/5) – 10×(3/2) = 10×(–(4x)/5) –
10y
→ 2(3x – 4y) – 15 = –8x – 10y. Développons le côté gauche : 6x –
8y – 15 = –8x – 10y. Rassemblons les termes en x et y : 6x + 8x – 8y
+ 10y = 15
→ 14x + 2y = 15.
4. Nous avons ainsi obtenu deux équations en x et y : (i) –2x + 10y
= 3
(ii) 14x + 2y = 15
Nous pouvons remplacer x à partir de (i) ou (ii). Par exemple, de (i)
: –2x = 3 – 10y ⟹ x = (10y – 3)/2. Substituons x dans (ii) :
14×[(10y –3)/2] + 2y = 15
→ 7(10y – 3) + 2y = 15
→ 70y – 21 + 2y = 15
→ 72y – 21 = 15
Ajoutons 21 aux deux côtés : 72y = 36
Divisons par 72 : y = 36/72 = 1/2.
5. Déduisons ensuite x : x = (10y – 3)/2 = (10×(1/2) – 3)/2 = (5 – 3)/2 = 2/2 = 1.
6. Enfin, déterminons z en utilisant (3) : z = –x + (4/3)y = –1 + (4/3)×(1/2) = –1 + (4/6) = –1 + (2/3). Pour écrire sous forme de fraction, –1 = –3/3, donc : z = (–3/3 + 2/3) = –1/3.
La solution du système 4 est :
x = 1 y = 1/2 z = –1/3
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Récapitulatif des solutions
1) p = 5, q = –3, r = 1
2) x = 3, y = 5, z = –1
3) x = 6, y = 9, z = 3
4) x = 1, y = 1/2, z = –1/3
Chaque système a ainsi été résolu en exprimant d’abord les variables en fonction des autres, puis en substituant étape par étape pour simplifier les équations. Ces méthodes permettent de résoudre les systèmes de manière rigoureuse et claire.