Exercice :
Pour chaque paire d’équations ci-dessous, déterminer si la seconde est équivalente à la première. Si ce n’est pas le cas, la modifier pour qu’elle le soit.
\[ \begin{cases} 4x - 7 = 9 \\ -8x + 14 = -18 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 6x + 2 = 5x - 3 \\ 12x + 4 = 10x - 6 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{2x}{3} + 2 = 10 \\ 4x + 6 = 30 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 7x + 5 = 3x - 2 \\ 28x + 20 = 12x - 8 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x - 4 = 0 \\ x - 2 = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x^{2} - 5x = 6 \\ 0 = x^{2} - 5x - 6 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x^{2} - 4x = 0 \\ x(x - 4) = 0 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x^{2} - 4x = 0 \\ x - 4 = 0 \end{cases} \]
Résumé de la correction de l’exercice :
Pour chaque paire d’équations, nous allons déterminer si la seconde équation est équivalente à la première. Si ce n’est pas le cas, nous la modifierons pour qu’elle le soit.
\[ \begin{cases} 4x - 7 = 9 \\ -8x + 14 = -18 \end{cases} \]
Étape 1 : Résoudre la première équation
\[ 4x - 7 = 9 \]
\[ 4x = 16 \]
\[ x = 4 \]
Étape 2 : Vérifier la seconde équation avec \(x = 4\)
\[ -8x + 14 = -18 \]
\[ -8 \times 4 + 14 = -32 + 14 = -18 \]
Conclusion : La seconde équation est équivalente à la première.
\[ \begin{cases} 6x + 2 = 5x - 3 \\ 12x + 4 = 10x - 6 \end{cases} \]
Étape 1 : Résoudre la première équation
\[ 6x + 2 = 5x - 3 \]
\[ x + 2 = -3 \]
\[ x = -5 \]
Étape 2 : Vérifier la seconde équation avec \(x = -5\)
\[ 12x + 4 = 10x - 6 \]
\[ 12 \times (-5) + 4 = -60 + 4 = -56 \] \[ 10 \times (-5) - 6 = -50 - 6 = -56 \]
Conclusion : La seconde équation est équivalente à la première.
\[ \begin{cases} \frac{2x}{3} + 2 = 10 \\ 4x + 6 = 30 \end{cases} \]
Étape 1 : Résoudre la première équation
\[ \frac{2x}{3} + 2 = 10 \]
\[ \frac{2x}{3} = 8 \]
\[ 2x = 24 \]
\[ x = 12 \]
Étape 2 : Vérifier la seconde équation avec \(x = 12\)
\[ 4x + 6 = 30 \]
\[ 4 \times 12 + 6 = 48 + 6 = 54 \neq 30 \]
Conclusion : La seconde équation n’est pas équivalente. Pour la rendre équivalente, elle doit donner \(x = 12\).
Modification :
\[ 4x + 6 = 54 \]
Ainsi, le système corrigé est :
\[ \begin{cases} \frac{2x}{3} + 2 = 10 \\ 4x + 6 = 54 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 7x + 5 = 3x - 2 \\ 28x + 20 = 12x - 8 \end{cases} \]
Étape 1 : Résoudre la première équation
\[ 7x + 5 = 3x - 2 \]
\[ 4x + 5 = -2 \]
\[ 4x = -7 \]
\[ x = -\frac{7}{4} \]
Étape 2 : Vérifier la seconde équation avec \(x = -\frac{7}{4}\)
\[ 28x + 20 = 12x - 8 \]
\[ 28 \times \left(-\frac{7}{4}\right) + 20 = -49 + 20 = -29 \] \[ 12 \times \left(-\frac{7}{4}\right) - 8 = -21 - 8 = -29 \]
Conclusion : La seconde équation est équivalente à la première.
\[ \begin{cases} 2x - 4 = 0 \\ x - 2 = 1 \end{cases} \]
Étape 1 : Résoudre la première équation
\[ 2x - 4 = 0 \]
\[ 2x = 4 \]
\[ x = 2 \]
Étape 2 : Vérifier la seconde équation avec \(x = 2\)
\[ x - 2 = 1 \]
\[ 2 - 2 = 0 \neq 1 \]
Conclusion : La seconde équation n’est pas équivalente.
Modification :
Pour obtenir \(x = 2\), la seconde équation doit satisfaire \(2 - 2 = 0\). Ainsi, une équation équivalente serait :
\[ x - 2 = 0 \]
Le système corrigé est donc :
\[ \begin{cases} 2x - 4 = 0 \\ x - 2 = 0 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x^{2} - 5x = 6 \\ 0 = x^{2} - 5x - 6 \end{cases} \]
Étape 1 : Résoudre la première équation
\[ x^{2} - 5x = 6 \]
\[ x^{2} - 5x - 6 = 0 \]
Étape 2 : Comparer avec la seconde équation
La seconde équation est :
\[ 0 = x^{2} - 5x - 6 \]
Conclusion : Les deux équations sont équivalentes car elles représentent la même équation après réarrangement.
\[ \begin{cases} x^{2} - 4x = 0 \\ x(x - 4) = 0 \end{cases} \]
Étape 1 : Résoudre la première équation
\[ x^{2} - 4x = 0 \]
\[ x(x - 4) = 0 \]
Étape 2 : Comparer avec la seconde équation
La seconde équation est :
\[ x(x - 4) = 0 \]
Conclusion : Les deux équations sont équivalentes car elles sont identiques.
\[ \begin{cases} x^{2} - 4x = 0 \\ x - 4 = 0 \end{cases} \]
Étape 1 : Résoudre la première équation
\[ x^{2} - 4x = 0 \]
\[ x(x - 4) = 0 \]
\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 4 \]
Étape 2 : Résoudre la seconde équation
\[ x - 4 = 0 \]
\[ x = 4 \]
Conclusion : La seconde équation n’est pas équivalente car elle ne contient qu’une seule solution (\(x = 4\)), alors que la première en a deux (\(x = 0\) et \(x = 4\)).
Modification :
Pour qu’elle soit équivalente, la seconde équation doit avoir les mêmes solutions que la première. On peut la laisser sous forme factorisée ou compléter les solutions. Une équation équivalente serait :
\[ x(x - 4) = 0 \]
Le système corrigé est donc :
\[ \begin{cases} x^{2} - 4x = 0 \\ x(x - 4) = 0 \end{cases} \]