Question : Deux cercles sont tangents extérieurement et la distance entre leurs centres est de \(8,4\) cm. Si le petit cercle est déplacé pour être tangent intérieurement au grand cercle, la distance entre les centres diminue de \(3,2\) cm.
Quelles sont les mesures des rayons de ces cercles ?
Les rayons des deux cercles sont \(r = 1,6\) cm et \(R = 6,8\) cm.
Nous devons déterminer les mesures des rayons de deux cercles qui sont tangents extérieurement et intérieurement dans différentes positions. Suivons les étapes ci-dessous pour résoudre ce problème.
Lorsque les deux cercles sont tangents extérieurement, la distance entre leurs centres est égale à la somme de leurs rayons.
\[ \text{Distance entre les centres} = r + R \]
D’après l’énoncé, cette distance est de \(8,4\) cm. Ainsi, nous pouvons écrire :
\[ r + R = 8,4 \quad \text{(Équation 1)} \]
Le petit cercle est déplacé pour être tangent intérieurement au grand cercle. Dans ce cas, la distance entre les centres des cercles est égale à la différence de leurs rayons.
\[ \text{Nouvelle distance entre les centres} = R - r \]
Selon l’énoncé, cette distance diminue de \(3,2\) cm par rapport à la distance précédente. Donc :
\[ R - r = (r + R) - 3,2 \]
En substituant l’Équation 1 dans cette expression :
\[ R - r = 8,4 - 3,2 \]
\[ R - r = 5,2 \quad \text{(Équation 2)} \]
Nous avons donc deux équations :
\[ \begin{cases} r + R = 8,4 \quad \text{(Équation 1)} \\ R - r = 5,2 \quad \text{(Équation 2)} \end{cases} \]
Pour résoudre ce système, additionnons les deux équations afin d’éliminer \(r\) :
\[ (r + R) + (R - r) = 8,4 + 5,2 \]
\[ 2R = 13,6 \]
\[ R = \frac{13,6}{2} = 6,8 \ \text{cm} \]
Maintenant, substituons la valeur de \(R\) dans l’Équation 1 pour trouver \(r\) :
\[ r + 6,8 = 8,4 \]
\[ r = 8,4 - 6,8 = 1,6 \ \text{cm} \]
Les mesures des rayons des deux cercles sont donc :