Exercice 65

Question : Un fleuve a un débit moyen de \(80\, \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}\). Un plaisancier met 2 h 30 pour parcourir 5 km dans le sens du courant et 3 h 10 pour remonter le courant.

Quelle est la vitesse du courant ? Quelle est la vitesse propre du bateau ?

Réponse

La vitesse du courant est de 0,21 km/h et la vitesse propre du bateau est de 1,79 km/h.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Nous sommes donnés les informations suivantes : - Débit du fleuve : \(80\, \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}\) (ceci est une information supplémentaire et n’est pas directement nécessaire pour résoudre le problème de la vitesse du courant et du bateau). - Distance parcourue : \(5\, \mathrm{km}\) - Temps pour descendre le courant : \(2\, \text{heures} \, 30\, \text{minutes}\) (\(2,5\, \text{heures}\)) - Temps pour remonter le courant : \(3\, \text{heures} \, 10\, \text{minutes}\) (\(3,1667\, \text{heures}\))

Objectifs : 1. Déterminer la vitesse du courant (\(c\)). 2. Déterminer la vitesse propre du bateau dans l’eau calme (\(v\)).

Étapes de la résolution :

1. Définir les variables :

   • Soit \(v\) la vitesse propre du bateau en \(\mathrm{km/h}\).
   • Soit \(c\) la vitesse du courant en \(\mathrm{km/h}\).

2. Analyser les déplacements :

   • Descente du courant : Lorsque le bateau se déplace dans le sens du courant, sa vitesse effective est la somme de sa vitesse propre et de la vitesse du courant. \[ \text{Vitesse descendante} = v + c \]
   • Montée contre le courant : Lorsque le bateau se déplace à contre-courant, sa vitesse effective est la différence entre sa vitesse propre et la vitesse du courant. \[ \text{Vitesse montante} = v - c \]

3. Établir les équations à partir des données fournies :

   • Pour la descente : \[ \text{Distance} = \text{Vitesse} \times \text{Temps} \\ 5\, \mathrm{km} = (v + c) \times 2,5\, \text{h} \] \[ \Rightarrow v + c = \frac{5\, \mathrm{km}}{2,5\, \text{h}} = 2\, \mathrm{km/h} \]
   • Pour la montée : \[ 5\, \mathrm{km} = (v - c) \times 3,1667\, \text{h} \] \[ \Rightarrow v - c = \frac{5\, \mathrm{km}}{3,1667\, \text{h}} \approx 1,58\, \mathrm{km/h} \]

4. Résoudre le système d’équations : \[ \begin{cases} v + c = 2 \\ v - c \approx 1,58 \\ \end{cases} \]

   • Additionner les deux équations pour éliminer \(c\) : \[ (v + c) + (v - c) = 2 + 1,58 \\ 2v = 3,58 \\ \Rightarrow v = \frac{3,58}{2} = 1,79\, \mathrm{km/h} \]

   • Trouver \(c\) en remplaçant \(v\) dans la première équation : \[ 1,79 + c = 2 \\ \Rightarrow c = 2 - 1,79 = 0,21\, \mathrm{km/h} \]

5. Conclusion :

   • Vitesse du courant (\(c\)) : \(0,21\, \mathrm{km/h}\)
   • Vitesse propre du bateau (\(v\)) : \(1,79\, \mathrm{km/h}\)

Remarque : Les vitesses obtenues semblent très faibles pour un bateau. Il est possible que les unités aient été mal interprétées ou que le débit du fleuve soit pertinent pour une précision accrue. Cependant, selon les données fournies et en supposant que le débit du fleuve n’influence pas directement les calculs de vitesse du courant dans ce contexte, les résultats sont les suivants.