Question : Sophie souhaite acheter une montre et un bracelet présentés dans la vitrine d’une bijouterie. Malheureusement, le prix total de ces deux accessoires est de 150 euros et dépasse son budget. Quelques temps après, le prix de la montre baisse de \(10\%\) et celui du bracelet de \(25\%\). Sophie calcule rapidement la dépense totale et constate que le prix total a baissé de 30 euros, ce qui lui permet d’acheter ces deux accessoires.
Quels étaient les prix de la montre et du bracelet avant la baisse ?
Sophie achète une montre à 50 € et un bracelet à 100 €. Après réduction de 10 % sur la montre et de 25 % sur le bracelet, elle économise 30 €.
Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer les prix initiaux de la montre et du bracelet que Sophie souhaite acheter. Suivons les étapes ci-dessous :
Prix total initial :
Sophie souhaite acheter la montre et le bracelet dont le prix total est de 150 euros.
\[ M + B = 150 \quad \text{(1)} \]
Baisse des prix :
Le nouveau prix total est de 30 euros de moins que le prix initial.
\[ (0,90 \times M) + (0,75 \times B) = 150 - 30 = 120 \quad \text{(2)} \]
Nous avons maintenant deux équations :
\[ \begin{cases} M + B = 150 \quad \text{(1)} \\ 0,90M + 0,75B = 120 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
a. Manipulons l’équation (1) pour faciliter la résolution :
Multipliions l’équation (1) par 0,75 pour aligner les coefficients de \(B\) :
\[ 0,75M + 0,75B = 112,5 \quad \text{(3)} \]
b. Soustrayons l’équation (3) de l’équation (2) :
\[ \begin{align*} (0,90M + 0,75B) - (0,75M + 0,75B) &= 120 - 112,5 \\ 0,15M &= 7,5 \\ M &= \frac{7,5}{0,15} \\ M &= 50 \end{align*} \]
Donc, le prix initial de la montre est de 50 euros.
c. Trouvons le prix du bracelet \(B\) :
Remplaçons \(M = 50\) dans l’équation (1) :
\[ 50 + B = 150 \\ B = 150 - 50 \\ B = 100 \]
Ainsi, le prix initial du bracelet est de 100 euros.
Ces prix initiaux, une fois réduits de 10 % et 25 % respectivement, permettent à Sophie d’acheter les deux accessoires avec une dépense totale réduite de 30 euros.