Question : Un groupe de vingt-huit élèves participe à un camp de deux jours dans un centre artistique, avec deux activités au programme : peinture ou sculpture.
Quel est le prix par personne pour une journée de peinture et celui d’une journée de sculpture ?
Réponse : Pour une journée de peinture, le coût par élève est de 150/7 euros (environ 21,43 euros) et pour une journée de sculpture, il est de 255/7 euros (environ 36,43 euros).
Nous allons déterminer le coût par élève pour une journée de peinture (noté x) et celui pour une journée de sculpture (noté y). Pour cela, nous allons écrire deux équations correspondant aux deux jours.
Définissons x et y : • x = prix en euros pour une journée de peinture • y = prix en euros pour une journée de sculpture
D’après l’énoncé :
• Le premier jour, 12 élèves font de la peinture et 16 élèves font de la sculpture. La facture totale est de 840 euros. Cela donne l’équation :
12x + 16y = 840 … (1)
• Le deuxième jour, 16 élèves font de la peinture et 12 élèves font de la sculpture. La facture totale est de 780 euros. Cela donne l’équation :
16x + 12y = 780 … (2)
Résolvons ce système d’équations par élimination. Pour cela, nous pouvons soustraire l’équation (2) de l’équation (1) afin d’éliminer une variable :
(12x + 16y) – (16x + 12y) = 840 – 780
Calculons terme à terme :
• Pour x : 12x – 16x = –4x • Pour y : 16y – 12y = 4y • Pour le côté droit : 840 – 780 = 60
Nous obtenons donc :
–4x + 4y = 60
Pour simplifier, divisons toute l’équation par 4 :
–x + y = 15
Cela nous donne :
y = x + 15 … (3)
Remplaçons maintenant y dans l’une des équations initiales (prenons l’équation (1)) :
12x + 16(x + 15) = 840
Développons l’équation :
12x + 16x + 16 × 15 = 840
Calculons 16 × 15 :
16 × 15 = 240
Ainsi, l’équation devient :
12x + 16x + 240 = 840
Regroupons les termes en x :
28x + 240 = 840
Isolez 28x :
28x = 840 – 240 28x = 600
Divisons ensuite par 28 pour trouver x :
x = 600 / 28
Pour simplifier, divisons numérateur et dénominateur par 2 :
x = 300 / 14
Puis encore par 2 :
x = 150 / 7
Ainsi, le prix par élève pour la peinture est de 150/7 euros, ce qui est environ 21,43 euros.
Pour trouver y, utilisons l’équation (3) :
y = x + 15
Remplaçons x par 150/7 :
y = (150/7) + 15
Pour additionner, écrivons 15 sous forme de fraction avec le dénominateur 7 :
15 = 105/7
Ainsi :
y = (150/7) + (105/7) = (150 + 105) / 7 = 255/7
Donc, le prix par élève pour la sculpture est de 255/7 euros, soit environ 36,43 euros.
Conclusion : • Prix d’une journée de peinture : 150/7 euros, soit environ 21,43 euros. • Prix d’une journée de sculpture : 255/7 euros, soit environ 36,43 euros.
Ces calculs montrent comment, en traduisant la situation en équations linéaires et en résolvant le système, nous pouvons déterminer le prix à payer par élève pour chaque activité.