Question :
Trouvez deux nombres dont la somme est égale à 480 et la différence est égale à 160.
Trouvez deux nombres dont la somme est égale à 200 et la différence est égale à 50.
Trouvez deux nombres dont la somme est égale à 315, l’un étant le double de l’autre.
La somme de deux nombres est égale à 180. La division du premier par le second donne un quotient de 5 et un reste de 10. Quels sont ces nombres ?
Un jardin rectangulaire a un périmètre de 90 m. On augmente sa longueur de 2 m et on diminue sa largeur de 2 m. Son aire diminue de \(8 \, \mathrm{m}^{2}\). Quelles étaient les dimensions initiales du jardin ?
Une boîte contient des pommes rouges et des pommes vertes. Si l’on ajoutait deux pommes rouges, les pommes rouges constitueraient un tiers du nouveau nombre de pommes dans la boîte. Si l’on en retirait deux, elles ne représenteraient plus que le quart du total. Combien la boîte contient-elle de pommes vertes ?
Une échelle est placée verticalement contre un mur. Le sommet de l’échelle dépasse de 15 cm le sommet du mur. Si l’on éloigne le pied de l’échelle de 80 cm du pied du mur, les sommets de l’échelle et du mur coïncident. Quelle est la hauteur du mur ?
Voici la correction détaillée de chaque point de l’exercice :
────────────────────────────── Exercice a)
On cherche deux nombres, que l’on appellera x et y, tels que :
(1) x + y = 480
(2) x – y = 160
Pour trouver x, on additionne (1) et (2) :
(x + y) + (x – y) = 480 + 160
2x = 640
x = 320
Ensuite, on remplace x dans (1) pour trouver y :
320 + y = 480
y = 480 – 320
y = 160
Les deux nombres sont donc 320 et 160.
────────────────────────────── Exercice b)
On cherche deux nombres, notés x et y, pour lesquels :
(1) x + y = 200
(2) x – y = 50
De la même façon, on additionne (1) et (2) :
(x + y) + (x – y) = 200 + 50
2x = 250
x = 125
Puis, on détermine y :
125 + y = 200
y = 200 – 125
y = 75
Les deux nombres sont donc 125 et 75.
────────────────────────────── Exercice c)
On cherche deux nombres dont la somme est 315 et pour lesquels l’un est le double de l’autre.
Soit y le plus petit nombre et x le plus grand. On a :
x = 2y
x + y = 315
Remplaçons x par 2y dans la somme :
2y + y = 315
3y = 315
y = 315 / 3
y = 105
Ensuite, x = 2 × 105 = 210.
Les deux nombres sont donc 210 et 105.
────────────────────────────── Exercice d)
On a deux nombres, appelons-les x (premier nombre) et y (deuxième nombre), avec :
(1) x + y = 180
De plus, la division de x par y donne un quotient de 5 et un reste de 10, ce qui se traduit par :
(2) x = 5y + 10
Pour résoudre, on remplace x dans (1) par l’expression trouvée :
(5y + 10) + y = 180
6y + 10 = 180
Soustrayons 10 de chaque côté :
6y = 170
y = 170 / 6
y = 85/3 (en fraction)
Maintenant, on trouve x :
x = 5y + 10 = 5(85/3) + 10
= (425/3) + 10
= (425 + 30)/3
= 455/3
On vérifie la somme :
(455/3) + (85/3) = 540/3 = 180
Les deux nombres sont donc x = 455/3 et y = 85/3.
────────────────────────────── Exercice e)
Soit L la longueur et l la largeur du jardin initial. Le périmètre est donné par : 2(L + l) = 90 ⟹ L + l = 45 (1)
L’aire initiale est A = L × l.
Après modification, la longueur devient L + 2 et la largeur l – 2. L’aire du jardin modifié est : A’ = (L + 2)(l – 2)
On sait que l’aire a diminué de 8 m², donc :
A’ = A – 8
(L + 2)(l – 2) = L × l – 8
Développons le produit à gauche :
L × l – 2L + 2l – 4 = L × l – 8
On simplifie en annulant L × l :
– 2L + 2l – 4 = –8
Ajoutons 4 des deux côtés :
– 2L + 2l = –4
Divisons par 2 : –L + l = –2
On peut écrire : l = L – 2 (2)
Maintenant, remplaçons (2) dans (1) : L + (L – 2) = 45
2L – 2 = 45
2L = 45 + 2 = 47
L = 47/2 = 23,5 m
Puis, d’après (2) :
l = 23,5 – 2 = 21,5 m
Les dimensions initiales du jardin sont donc : Longueur = 23,5 m et Largeur = 21,5 m.
────────────────────────────── Exercice f)
On considère une boîte contenant x pommes rouges et y pommes vertes. Soit le nombre total de pommes T = x + y.
Première situation : On ajoute deux pommes rouges. Alors, le nombre de pommes rouges devient x + 2 et le total devient T + 2. On sait que dans cette situation : x + 2 = (1/3)(T + 2) (1)
Deuxième situation : On retire deux pommes rouges. Le nombre de pommes rouges devient x – 2 et le total devient T – 2. On a alors : x – 2 = (1/4)(T – 2) (2)
Exprimons T en fonction de x et y : T = x + y.
À présent, développons (1) et (2) :
Pour (1) : 3(x + 2) = T + 2
3x + 6 = x + y + 2
3x + 6 – x – 2 = y
2x + 4 = y (3)
Pour (2) : 4(x – 2) = T – 2
4x – 8 = x + y – 2
4x – 8 – x + 2 = y
3x – 6 = y (4)
Les équations (3) et (4) donnent la même quantité y. On égalise donc :
2x + 4 = 3x – 6
En soustrayant 2x de chaque côté : 4 = x – 6
x = 4 + 6 = 10
Ensuite, on détermine y, par exemple d’après (3) :
y = 2x + 4 = 2×10 + 4 = 20 + 4 = 24
La question demande le nombre de pommes vertes, qui est y = 24.
────────────────────────────── Exercice g)
Soit h la hauteur du mur (en cm) et L la longueur de l’échelle. Dans la première situation, l’échelle est posée verticalement contre le mur, de sorte que son extrémité supérieure dépasse le mur de 15 cm. On a alors :
L = h + 15 (1)
Dans la deuxième situation, on éloigne le pied de l’échelle de 80 cm par rapport au mur et le sommet de l’échelle coïncide avec celui du mur. L’échelle forme ainsi l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont le côté opposé est la hauteur du mur h et l’autre côté la distance horizontale de 80 cm. Par le théorème de Pythagore :
h² + 80² = L² (2)
On remplace L par h + 15 dans (2) :
h² + 80² = (h + 15)²
h² + 6400 = h² + 30h + 225
On simplifie en soustrayant h² de chaque côté :
6400 = 30h + 225
Ensuite, on isole 30h :
30h = 6400 – 225
30h = 6175
Enfin, on divise par 30 :
h = 6175 / 30
h = 6175 ÷ 30
= 205,83… (approximativement)
Pour obtenir la valeur exacte, on peut simplifier en fraction :
h = 6175 / 30 = (5×1235)/(5×6) = 1235/6 cm
h ≈ 205,83 cm
Donc, la hauteur du mur est exactement 1235/6 cm, soit environ 205,8 cm.
────────────────────────────── Réponses finales :