Question : Résous ces systèmes d’équations par substitution.
\[ \left\{ \begin{aligned} 3 y &= 12 - 4 x \\ 8 x - 6 y &= 4 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} 2,0 x + 1,0 y &= 5,0 \\ x - 2,0 y &= 1,0 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} 5 x &= 10 - (3 y + x) \\ 4 x - 4 y + 2 &= -4 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} 3(x - 2 y) - (2 x + 1) &= -3 \\ 6 - 2 x + 3 y &= 2 x + 4 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} 4 x - 12 = \dfrac{y}{3} \\ \dfrac{2 x}{3} + \dfrac{y}{4} = 5 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin{array}{r} \dfrac{y}{8} - \dfrac{x - 2}{4} = 1 \\ 7 y + 2(4 + x) = 6 \end{array} \right. \]
Nous allons résoudre chacun des systèmes par la méthode de substitution. Pour chaque système, nous allons exprimer une variable en fonction de l’autre puis substituer dans la deuxième équation afin de trouver une valeur numérique. Voici la démarche détaillée pour chacun :
────────────────────────────── Exercice a)
Système : (1) 3y = 12 – 4x
(2) 8x – 6y = 4
À partir de (1), on exprime y : 3y = 12 – 4x
=> y = (12 – 4x) / 3
=> y = 4 – (4/3)x
On remplace y dans (2) : 8x – 6[4 – (4/3)x] = 4
Développons la parenthèse : 8x – 6×4 + 6×(4/3)x = 4
8x – 24 + 8x = 4 (puisque 6×(4/3) = 8)
Rassemblons les termes en x : 8x + 8x = 16x, donc 16x – 24 = 4
Isolons x : 16x = 4 + 24 = 28
=> x = 28/16 = 7/4
Remplaçons x dans l’expression de y trouvée en (1) : y = 4 –
(4/3)(7/4)
=> y = 4 – (7/3)
Pour soustraire, exprimons 4 sous la forme 12/3 : y = (12/3 – 7/3) =
5/3
Ainsi, la solution du système a) est : x = 7/4 et y = 5/3.
────────────────────────────── Exercice b)
Système : (1) 2,0x + 1,0y = 5,0
(2) x – 2,0y = 1,0
À partir de (2), on exprime x en fonction de y : x = 1 + 2y
On substitue cette expression dans (1) : 2(1 + 2y) + y = 5
Développons et regroupons : 2 + 4y + y = 5
=> 2 + 5y = 5
Isolons y : 5y = 5 – 2 = 3
=> y = 3/5
Remplaçons y dans x = 1 + 2y : x = 1 + 2(3/5) = 1 + 6/5
=> x = (5/5 + 6/5) = 11/5
Donc, la solution du système b) est : x = 11/5 et y = 3/5.
────────────────────────────── Exercice c)
Système : (1) 5x = 10 – (3y + x)
(2) 4x – 4y + 2 = –4
Pour (1), simplifions d’abord le membre de droite : 5x = 10 –
3y – x
Ajoutons x aux deux côtés : 5x + x = 10 – 3y
=> 6x = 10 – 3y
On peut écrire x en fonction de y : => x = (10 – 3y) / 6
Pour (2), isolons les termes en x et y : 4x – 4y + 2 = –4
Soustrayons 2 des deux côtés : 4x – 4y = –6
Divisons par 2 : 2x – 2y = –3
=> x – y = –3/2
Donc x = y – 3/2
On a deux expressions de x : (10 – 3y)/6 = y – 3/2
Pour résoudre, multiplions par 6 : 10 – 3y = 6(y – 3/2) = 6y – 9
Regroupons les termes : 10 + 9 = 6y + 3y
=> 19 = 9y
Donc y = 19/9
Trouvons x à l’aide de x = y – 3/2 : x = (19/9) – (3/2)
Pour soustraire, mettons sur le même dénominateur :
x = (38/18) – (27/18) = 11/18
La solution du système c) est : x = 11/18 et y = 19/9.
────────────────────────────── Exercice d)
Système : (1) 3(x – 2y) – (2x + 1) = –3
(2) 6 – 2x + 3y = 2x + 4
Développons (1) : 3x – 6y – 2x – 1 = –3
=> (3x – 2x) – 6y – 1 = –3
=> x – 6y = –3 + 1 = –2
Nous obtenons : x – 6y = –2 (équation A)
Pour (2), isolons les termes : 6 – 2x + 3y = 2x + 4
Transposons 2x et 4 : 6 – 2x + 3y – 2x – 4 = 0
=> 6 – 4x + 3y – 4 = 0
=> (6 – 4) – 4x + 3y = 0
=> 2 – 4x + 3y = 0
On peut écrire : –4x + 3y = –2
Si l’on multiplie par –1 : 4x – 3y = 2 (équation B)
Nous avons donc le système : (A) x – 6y = –2
(B) 4x – 3y = 2
Exprimons x de (A) : x = –2 + 6y
Substituons dans (B) : 4(–2 + 6y) – 3y = 2
=> –8 + 24y – 3y = 2
=> –8 + 21y = 2
Isolons y : 21y = 2 + 8 = 10
=> y = 10/21
Déduisons x : x = –2 + 6(10/21) = –2 + 60/21
Simplifions : 60/21 = 20/7 et –2 = –14/7
Donc x = (–14 + 20)/7 = 6/7
La solution du système d) est : x = 6/7 et y = 10/21.
────────────────────────────── Exercice e)
Système : (1) 4x – 12 = y/3
(2) (2x)/3 + (y)/4 = 5
À partir de (1), exprimons y : 4x – 12 = y/3
Multiplions par 3 : 12x – 36 = y
=> y = 12x – 36
Substituons dans (2) : (2x)/3 + (12x – 36)/4 = 5
Pour faciliter le calcul, trouvons un dénominateur commun. Le
PPCM de 3 et 4 est 12. Multiplions chaque terme par 12 : 12×[(2x)/3] +
12×[(12x – 36)/4] = 12×5
=> 4×(2x) + 3×(12x – 36) = 60
=> 8x + 36x – 108 = 60
Regroupons les termes : 44x – 108 = 60
Isolons x : 44x = 60 + 108 = 168
=> x = 168/44 = 42/11 (après simplification en divisant par
4)
Trouvons y : y = 12x – 36 = 12×(42/11) – 36
=> y = (504/11) – 36
Pour soustraire, exprimons 36 sous forme de fraction sur 11 : 36 =
396/11
=> y = (504 – 396)/11 = 108/11
La solution du système e) est : x = 42/11 et y = 108/11.
────────────────────────────── Exercice f)
Système : (1) y/8 – (x – 2)/4 = 1
(2) 7y + 2(4 + x) = 6
Pour (1), cherchons à éliminer les dénominateurs. Multiplions par
8 : 8×(y/8) – 8×[(x – 2)/4] = 8×1
=> y – 2(x – 2) = 8
Développons : y – 2x + 4 = 8
Isolons y : => y = 2x + (8 – 4) = 2x + 4
Dans (2), développons d’abord : 7y + 2(4 + x) = 7y + 8 + 2x = 6
Remplaçons y par l’expression trouvée : 7(2x + 4) + 8 + 2x =
6
=> 14x + 28 + 8 + 2x = 6
=> (14x + 2x) + (28 + 8) = 16x + 36 = 6
Isolons x : 16x = 6 – 36 = –30
=> x = –30/16 = –15/8
Calculons y : y = 2x + 4 = 2(–15/8) + 4 = –30/8 + 4
Simplifions –30/8 en divisant par 2 : –15/4
Exprimons 4 en fraction sur 4 : 4 = 16/4
=> y = –15/4 + 16/4 = 1/4
La solution du système f) est : x = –15/8 et y = 1/4.
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
a) x = 7/4, y = 5/3
b) x = 11/5, y = 3/5
c) x = 11/18, y = 19/9
d) x = 6/7, y = 10/21
e) x = 42/11, y = 108/11
f) x = –15/8, y = 1/4
Chaque système a ainsi été résolu par substitution en suivant les étapes de simplification, substitution et résolution des équations obtenues.