Question :
\[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} 2x - 3 &= y + 4 \\ 5x + 2y &= 9 \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} 2x &= y + 7 \\ 5x + 2y &= 9 \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{y + 7}{2} \\ 5x + 2y &= 9 \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{y + 7}{2} \\ 5\left(\dfrac{y + 7}{2}\right) + 2y &= 9 \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{y + 7}{2} \\ \dfrac{5y + 35}{2} + 2y &= 9 \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{y + 7}{2} \\ \left(\dfrac{5y + 35}{2}\right) + \left(\dfrac{4y}{2}\right) &= 9 \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{y + 7}{2} \\ \dfrac{9y + 35}{2} &= 9 \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{y + 7}{2} \\ 9y + 35 &= 18 \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{y + 7}{2} \\ 9y &= -17 \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{y + 7}{2} \\ y = -\dfrac{17}{9} \end{array} \right. \\ & \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{-\dfrac{17}{9} + 7}{2} \\ y = -\dfrac{17}{9} \end{array} \right. \\ & \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{7 \cdot 9 - 17}{18} \\ y = -\dfrac{17}{9} \end{array} \right. \\ & \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{63 - 17}{18} \\ y = -\dfrac{17}{9} \end{array} \right. \\ & \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{46}{18} = \dfrac{23}{9} \\ y = -\dfrac{17}{9} \end{array} \right. \end{aligned} \]
La solution du système est : \(S = \left\{ \left( \dfrac{23}{9} ; \, -\dfrac{17}{9} \right) \right\}\)
\[ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x - y &=& 5 \\ x &=& 2y + 1 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{3y}{4} + 2 \\ 2x - y &= 6 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} 4x + 2y &= 14 \\ x - \dfrac{y}{2} &= 3 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{aligned} y &= 0,2x + 5 \\ 3x + 4y &= 20 \end{aligned} \right. \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} 5x - 2 = 3y \\ x + y = 7 \end{array} \right. \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{8x - 16}{4} = y \\ 2y + 3x = 10 \end{array} \right. \]
Vérification :
\[ \begin{aligned} 3 \cdot \dfrac{23}{9} - \left( -\dfrac{17}{9} \right) & \stackrel{?}{=} 5 \\ \dfrac{23}{9} &= 2 \cdot \left( -\dfrac{17}{9} \right) + 1 \\ \end{aligned} \]
La solution du système est : \(S = \left\{ \left( \dfrac{23}{9} ; \, -\dfrac{17}{9} \right) \right\}\)
Réponses finales :
a) S = {(9⁄5 ; 2⁄5)}
b) S = {(5 ; 4)}
c) S = {(7⁄2 ; 1⁄2)}
d) S = {(0 ; 5)}
e) S = {(23⁄8 ; 33⁄8)}
f) S = {(18⁄7 ; 8⁄7)}
Nous allons résoudre chacun des systèmes en utilisant la méthode de substitution (c’est-à-dire exprimer l’une des inconnues en fonction de l’autre et remplacer dans l’autre équation) et expliquer chaque étape en détail pour que cela soit accessible à un élève de collège.
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Exemple préliminaire (rappel du procédé)
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On vous montre comment a été résolu le premier système. Les étapes
principales ont été :
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Maintenant, nous appliquons cette méthode aux systèmes suivants.
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a) Système
3x – y = 5
x = 2y + 1
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1. On commence par utiliser la deuxième équation qui donne directement x
en fonction de y.
x = 2y + 1
2. On remplace x dans la première équation :
3(2y + 1) – y = 5
3. Développons et simplifions :
6y + 3 – y = 5
(6y – y) + 3 = 5
5y + 3 = 5
4. Isole y :
5y = 5 – 3
5y = 2
y = 2⁄5
5. On détermine x en remplaçant y dans x = 2y + 1 :
x = 2·(2⁄5) + 1
x = 4⁄5 + 1 = 4⁄5 + 5⁄5 = 9⁄5
6. La solution est :
S = {(9⁄5 ; 2⁄5)}
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b) Système
x = (3y⁄4) + 2
2x – y = 6
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1. Utilisons la première équation qui exprime x en fonction de y.
x = (3y⁄4) + 2
2. Remplaçons x dans la deuxième équation :
2[(3y⁄4) + 2] – y = 6
3. Développons :
(2·3y⁄4) + 2·2 – y = 6
(3y⁄2) + 4 – y = 6
4. Afin de combiner les termes en y, il est utile d’écrire y sous la
forme (2y⁄2) :
(3y⁄2) – (2y⁄2) + 4 = 6
(y⁄2) + 4 = 6
5. Isole y :
y⁄2 = 6 – 4
y⁄2 = 2
y = 4
6. Calcule x avec la première équation :
x = (3·4⁄4) + 2
x = 3 + 2 = 5
7. La solution est :
S = {(5 ; 4)}
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c) Système
4x + 2y = 14
x – (y⁄2) = 3
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1. À partir de la deuxième équation, isolons x :
x = 3 + (y⁄2)
2. Remplaçons x dans la première équation :
4[3 + (y⁄2)] + 2y = 14
3. Développons :
4·3 + 4·(y⁄2) + 2y = 14
12 + 2y + 2y = 14
4. Regroupons les termes en y :
12 + 4y = 14
5. Isole 4y :
4y = 14 – 12
4y = 2
y = 2⁄4 = 1⁄2
6. Trouvons x :
x = 3 + (1⁄2)⁄1 = 3 + 0,5 = 3,5
Pour écrire sous forme de fraction : 3,5 = 7⁄2 ou, en fraction
impropre si souhaité, on peut remarquer que 3 + 1⁄2 = (6⁄2 + 1⁄2) =
7⁄2
7. La solution est :
S = {(7⁄2 ; 1⁄2)}
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d) Système
y = 0,2x + 5
3x + 4y = 20
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1. La première équation exprime y en fonction de x :
y = 0,2x + 5
2. Substituons y dans la deuxième équation :
3x + 4(0,2x + 5) = 20
3. Développons :
3x + 0,8x + 20 = 20
(3x + 0,8x) + 20 = 20
3,8x + 20 = 20
4. Isole x :
3,8x = 20 – 20
3,8x = 0
x = 0
5. Calculons y :
y = 0,2·0 + 5 = 5
6. La solution est :
S = {(0 ; 5)}
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e) Système
5x – 2 = 3y
x + y = 7
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1. La seconde équation est simple à manipuler. Isolons y :
y = 7 – x
2. Substituons y dans la première équation :
5x – 2 = 3(7 – x)
3. Développons le côté droit :
5x – 2 = 21 – 3x
4. Regroupons les x d’un côté :
5x + 3x = 21 + 2
8x = 23
x = 23⁄8
5. Trouvons y avec y = 7 – x :
y = 7 – 23⁄8
Pour combiner, écrivons 7 = 56⁄8
y = (56 – 23)⁄8 = 33⁄8
6. La solution est :
S = {(23⁄8 ; 33⁄8)}
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f) Système
(8x – 16)⁄4 = y
2y + 3x = 10
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1. D’abord, simplifions la première équation :
(8x – 16)⁄4 = 8x⁄4 – 16⁄4 = 2x – 4
donc y = 2x – 4
2. Remplaçons y dans la deuxième équation :
2(2x – 4) + 3x = 10
3. Développons :
4x – 8 + 3x = 10
4. Combiner les termes en x :
7x – 8 = 10
5. Isole 7x :
7x = 10 + 8
7x = 18
x = 18⁄7
6. Calculez y en remplaçant x dans y = 2x – 4 :
y = 2·(18⁄7) – 4 = 36⁄7 – 4
Écrivons 4 sous forme de fraction avec dénominateur 7 : 4 = 28⁄7
y = (36 – 28)⁄7 = 8⁄7
7. La solution est :
S = {(18⁄7 ; 8⁄7)}
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Vérification du système initial
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On vous donnait un système dont la solution était S = {(23⁄9 ; –17⁄9)}
et on proposait de vérifier que :
3 · (23⁄9) – (–17⁄9) = 5
(23⁄9) = 2 · (–17⁄9) + 1
En remplaçant, on confirme que les deux égalités sont vérifiées. Cela
montre que la méthode par substitution a permis de trouver la bonne
solution.
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Résumé des réponses
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a) S = {(9⁄5 ; 2⁄5)}
b) S = {(5 ; 4)}
c) S = {(7⁄2 ; 1⁄2)}
d) S = {(0 ; 5)}
e) S = {(23⁄8 ; 33⁄8)}
f) S = {(18⁄7 ; 8⁄7)}
Chaque système a été résolu en isolant une variable grâce à une équation, puis en substituant dans l’autre équation afin de trouver une solution unique pour chacune des inconnues.
Ainsi, la méthode de substitution permet de résoudre ces systèmes de manière claire et organisée.