Question : Résous graphiquement les trois systèmes d’équations suivants :
\[ \begin{cases} y = 2x + 3 \\ y = -x + 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3y + x = 12 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 5y - 10x = 20 \\ y + 2x = 8 \end{cases} \]
Résumé :
Les solutions des systèmes d’équations sont :
Ces points représentent les intersections des droites correspondantes dans le plan cartésien.
Nous allons résoudre graphiquement chacun des trois systèmes d’équations en déterminant les points d’intersection des droites représentées par les équations. Chaque système sera traité séparément.
\[ \begin{cases} y = 2x + 3 \\ y = -x + 5 \end{cases} \]
Tracer les deux droites dans un plan cartésien.
Déterminer le point d’intersection des deux droites.
Pour trouver le point d’intersection, nous égalons les deux expressions de \(y\) :
\[ 2x + 3 = -x + 5 \]
Résoudre l’équation pour \(x\).
\[ 2x + x = 5 - 3 \\ 3x = 2 \\ x = \frac{2}{3} \]
Trouver la valeur correspondante de \(y\).
Nous substituons \(x = \frac{2}{3}\) dans l’une des équations, par exemple \(y = 2x + 3\) :
\[ y = 2 \left( \frac{2}{3} \right) + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3} \]
Conclusion :
Le système admet une unique solution au point d’intersection \(\left( \frac{2}{3}, \frac{13}{3} \right)\).
\[ \begin{cases} 3y + x = 12 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \]
Exprimer les deux équations sous forme explicite (y en fonction de x).
Première équation : \(3y + x = 12\)
Isolons \(y\) :
\[ 3y = -x + 12 \\ y = -\frac{1}{3}x + 4 \]
Deuxième équation : \(2x - y = 4\)
Isolons \(y\) :
\[ y = 2x - 4 \]
Tracer les deux droites dans un plan cartésien.
Déterminer le point d’intersection des deux droites.
Égalisons les deux expressions de \(y\) :
\[ -\frac{1}{3}x + 4 = 2x - 4 \]
Résoudre l’équation pour \(x\).
\[ 4 + 4 = 2x + \frac{1}{3}x \\ 8 = \frac{7}{3}x \\ x = \frac{8 \times 3}{7} = \frac{24}{7} \]
Trouver la valeur correspondante de \(y\).
Substituons \(x = \frac{24}{7}\) dans \(y = 2x - 4\) :
\[ y = 2 \left( \frac{24}{7} \right) - 4 = \frac{48}{7} - 4 = \frac{48}{7} - \frac{28}{7} = \frac{20}{7} \]
Conclusion :
Le système admet une unique solution au point d’intersection \(\left( \frac{24}{7}, \frac{20}{7} \right)\).
\[ \begin{cases} 5y - 10x = 20 \\ y + 2x = 8 \end{cases} \]
Simplifier les équations si possible.
Première équation : \(5y - 10x = 20\)
Divisons chaque terme par 5 :
\[ y - 2x = 4 \quad (1) \]
Deuxième équation : \(y + 2x = 8 \quad (2)\)
Ajouter les deux équations pour éliminer \(x\).
\[ (y - 2x) + (y + 2x) = 4 + 8 \\ 2y = 12 \\ y = 6 \]
Trouver la valeur correspondante de \(x\).
Substituons \(y = 6\) dans la deuxième équation \(y + 2x = 8\) :
\[ 6 + 2x = 8 \\ 2x = 2 \\ x = 1 \]
Conclusion :
Le système admet une unique solution au point d’intersection \((1, 6)\).
\(\left( \dfrac{2}{3}, \dfrac{13}{3} \right)\)
\(\left( \dfrac{24}{7}, \dfrac{20}{7} \right)\)
\((1, 6)\)
Ces points représentent les solutions où les droites de chaque système se croisent dans un plan cartésien.
Pour une représentation graphique précise, il est recommandé d’utiliser une grille de coordonnées et de tracer soigneusement chaque droite en prenant en compte les coefficients directeurs et les ordonnées à l’origine. Les points d’intersection obtenus algebraiquement confirment les solutions graphiques des systèmes.
Chaque système d’équations linéaires étudié admet une unique solution, située au point d’intersection des deux droites correspondantes. Ces solutions ont été déterminées en résolvant les systèmes de manière algébrique, ce qui correspond à une interprétation graphique dans le plan cartésien.