Question : Pour chaque système d’équations, trouve un couple de nombres qui le satisfait.
\[ \begin{cases} y = 2x + 3 \\ 5y - x = 16 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x + y = 15 \\ x = 2y - 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ 6x + y = 22 \end{cases} \]
Solutions des exercices :
Correction des exercices
Système d’équations : \[ \begin{cases} y = 2x + 3 \\ 5y - x = 16 \end{cases} \]
Étapes de résolution :
Isoler une variable :
La première équation est déjà résolue pour \(y\) : \[ y = 2x + 3 \]
Substituer dans la deuxième équation :
Remplaçons \(y\) dans la deuxième équation par l’expression obtenue : \[ 5y - x = 16 \\ 5(2x + 3) - x = 16 \]
Développer et simplifier : \[ 10x + 15 - x = 16 \\ 9x + 15 = 16 \]
Résoudre pour \(x\) : \[ 9x = 16 - 15 \\ 9x = 1 \\ x = \frac{1}{9} \]
Trouver \(y\) :
Substituons \(x = \frac{1}{9}\) dans la première équation : \[ y = 2 \left( \frac{1}{9} \right) + 3 \\ y = \frac{2}{9} + 3 \\ y = \frac{2}{9} + \frac{27}{9} \\ y = \frac{29}{9} \]
Solution : \[ \left( x, y \right) = \left( \frac{1}{9}, \frac{29}{9} \right) \]
Système d’équations : \[ \begin{cases} 3x + y = 15 \\ x = 2y - 1 \end{cases} \]
Étapes de résolution :
Isoler une variable :
La deuxième équation est déjà résolue pour \(x\) : \[ x = 2y - 1 \]
Substituer dans la première équation :
Remplaçons \(x\) dans la première équation par l’expression obtenue : \[ 3x + y = 15 \\ 3(2y - 1) + y = 15 \]
Développer et simplifier : \[ 6y - 3 + y = 15 \\ 7y - 3 = 15 \]
Résoudre pour \(y\) : \[ 7y = 15 + 3 \\ 7y = 18 \\ y = \frac{18}{7} \]
Trouver \(x\) :
Substituons \(y = \frac{18}{7}\) dans la deuxième équation : \[ x = 2 \left( \frac{18}{7} \right) - 1 \\ x = \frac{36}{7} - 1 \\ x = \frac{36}{7} - \frac{7}{7} \\ x = \frac{29}{7} \]
Solution : \[ \left( x, y \right) = \left( \frac{29}{7}, \frac{18}{7} \right) \]
Système d’équations : \[ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ 6x + y = 22 \end{cases} \]
Étapes de résolution :
Isoler une variable :
Prenons la première équation et isolons \(x\) : \[ x = 2y + 4 \]
Substituer dans la deuxième équation :
Remplaçons \(x\) dans la deuxième équation par l’expression obtenue : \[ 6x + y = 22 \\ 6(2y + 4) + y = 22 \]
Développer et simplifier : \[ 12y + 24 + y = 22 \\ 13y + 24 = 22 \]
Résoudre pour \(y\) : \[ 13y = 22 - 24 \\ 13y = -2 \\ y = -\frac{2}{13} \]
Cependant, étant donné que nous cherchons des nombres réels qui satisfont le système, nous constatons qu’une solution existe même si \(y\) est négatif.
Trouver \(x\) :
Substituons \(y = -\frac{2}{13}\) dans la première équation : \[ x = 2 \left( -\frac{2}{13} \right) + 4 \\ x = -\frac{4}{13} + 4 \\ x = -\frac{4}{13} + \frac{52}{13} \\ x = \frac{48}{13} \]
Solution : \[ \left( x, y \right) = \left( \frac{48}{13}, -\frac{2}{13} \right) \]
Remarque : Les solutions obtenues sont les couples de nombres \((x, y)\) qui satisfont simultanément les deux équations de chaque système.