Exercice 56

Question : Le colis a la forme d’un prisme droit à base carrée.

Pour le ficeler selon la méthode \(C\), une ficelle de 250 cm est nécessaire.

Pour la méthode \(D\), 200 cm de ficelle suffisent.

À chaque fois, 25 cm de ficelle sont utilisés pour le nœud.

Détermine les dimensions de ce colis.

Réponse

Le prisme a une base carrée de côté 43,75 cm et une hauteur de 12,5 cm.

Corrigé détaillé

Correction détaillée : Détermination des dimensions d’un prisme droit à base carrée

Nous devons déterminer les dimensions d’un colis en forme de prisme droit à base carrée, en utilisant les informations fournies concernant les méthodes de ficelage \(C\) et \(D\).

Données du problème : - Méthode \(C\) : Nécessite une ficelle de 250 cm. - Méthode \(D\) : Nécessite une ficelle de 200 cm. - Nœud : À chaque méthode, 25 cm de ficelle sont utilisés pour le nœud.

Étapes de la résolution :

1. Définir les variables :

   • Soit \(a\) la longueur d’un côté de la base carrée du prisme (en cm).
   • Soit \(h\) la hauteur du prisme (en cm).

2. Calculer la longueur de ficelle utilisée pour le ficelage (sans le nœud) :

   • Méthode \(C\) : \[ \text{Longueur totale} = 250 \, \text{cm} \] \[ \text{Longueur pour ficelage} = 250 \, \text{cm} - 25 \, \text{cm} = 225 \, \text{cm} \]

   • Méthode \(D\) : \[ \text{Longueur totale} = 200 \, \text{cm} \] \[ \text{Longueur pour ficelage} = 200 \, \text{cm} - 25 \, \text{cm} = 175 \, \text{cm} \]

3. Analyser les méthodes de ficelage :

   Supposons que :

   • Méthode \(C\) : Enroule la ficelle autour du prisme en suivant le périmètre de la base et la hauteur, ce qui donne une boucle comprenant à la fois la base et la hauteur.

   • Méthode \(D\) : Enroule la ficelle uniquement autour de la base carrée.

4. Établir les équations :

   • Pour la Méthode \(C\) :

     La ficelle enroule le prisme autour de la base et de la hauteur, couvrant ainsi deux côtés adjacents et la hauteur. Le périmètre parcouru est donc : \[ 4a + 4h = 225 \, \text{cm} \] Simplifions en divisant par 4 : \[ a + h = \frac{225}{4} = 56,25 \, \text{cm} \quad \text{(Équation 1)} \]

   • Pour la Méthode \(D\) :

     La ficelle enroule uniquement autour de la base carrée, donc le périmètre est : \[ 4a = 175 \, \text{cm} \] Simplifions pour trouver \(a\) : \[ a = \frac{175}{4} = 43,75 \, \text{cm} \quad \text{(Équation 2)} \]

5. Résoudre le système d’équations :

   Nous avons : \[ \begin{cases} a + h = 56,25 \\ a = 43,75 \end{cases} \]

   Remplaçons \(a\) dans l’Équation 1 : \[ 43,75 + h = 56,25 \]

   Isolons \(h\) : \[ h = 56,25 - 43,75 = 12,5 \, \text{cm} \]

6. Conclusion :

   Les dimensions du prisme droit à base carrée sont : \[ \boxed{a = 43,75 \, \text{cm} \quad \text{et} \quad h = 12,5 \, \text{cm}} \]