Exercice 55

Question : Une bibliothèque comporte trois sections : romans, magazines et journaux. On sait que :

• Le nombre total de publications est de 180 ;
• Le nombre de romans est 30 de moins que le double du nombre de journaux ;
• Le nombre de magazines est égal au nombre de journaux plus 15.

a) Quelles équations traduisent cette situation ? \[ x \] représente le nombre de romans, \[ y \] le nombre de magazines et \[ z \] le nombre de journaux.

1. \((2z - 30) + (z + 15) + z = 180\)
2. \((z - 30) + 2z + (z + 15) = 180\)
3. \((2y - 30) + y + (y + 15) = 180\)
4. \(2z + y + z = 180\)
5. \((2z - 30) + y + z = 180\)
6. \((2z - 30) + (z + 15) + (z - 15) = 180\)

b) Détermine le nombre de romans, de magazines et de journaux dans la bibliothèque.

Réponse

Nous avons établi que x = 2z – 30, y = z + 15 et x + y + z = 180. En substituant, on obtient 4z – 15 = 180, donc z = 48,75, x = 67,5 et y = 63,75.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre l’exercice en deux parties.

────────────────────────────── I – Traduction de la situation

On note : • x le nombre de romans, • y le nombre de magazines, • z le nombre de journaux.

Les renseignements du problème se traduisent ainsi :

1. Le nombre total de publications est de 180, donc   x + y + z = 180.

2. Le nombre de romans est « 30 de moins que le double du nombre de journaux ». Cela se traduit par :   x = 2z – 30.

3. Le nombre de magazines est égal au nombre de journaux plus 15. On a :   y = z + 15.

On peut, par exemple, remplacer x et y dans la première équation de la manière suivante :   (2z – 30) + (z + 15) + z = 180.

Cette équation correspond à la réponse (1) proposée dans l’énoncé.

────────────────────────────── II – Détermination des nombres de publications

Nous disposons donc du système :   (1) x + y + z = 180,   (2) x = 2z – 30,   (3) y = z + 15.

Nous allons remplacer dans (1) x et y par leurs expressions en fonction de z.

1. Remplaçons x et y dans x + y + z = 180 :   (2z – 30) + (z + 15) + z = 180.

2. Simplifions l’équation en regroupant les termes identiques :   2z + z + z = 4z  et  –30 + 15 = –15,   donc  4z – 15 = 180.

3. Ajoutons 15 de chaque côté pour isoler 4z :   4z = 180 + 15 = 195.

4. Divisons par 4 :   z = 195 / 4 = 48,75.

Une fois z trouvé, nous déterminons x et y :

• Pour les romans, d’après (2) :   x = 2z – 30 = 2 × 48,75 – 30 = 97,5 – 30 = 67,5.

• Pour les magazines, d’après (3) :   y = z + 15 = 48,75 + 15 = 63,75.

Vérifions la somme :   x + y + z = 67,5 + 63,75 + 48,75 = 180, ce qui est bien conforme à l’énoncé.

────────────────────────────── Remarques pédagogiques

• La phrase « le nombre de romans est 30 de moins que le double du nombre de journaux » se traduit par x = 2z – 30. • La traduction fidèle de la situation permet ensuite de substituer dans l’équation totale. • Bien que nous ayons obtenu des nombres non entiers, ces résultats correspondent exactement aux données de l’énoncé.

────────────────────────────── Conclusion

1. Les équations traduisant la situation sont :   x = 2z – 30,   y = z + 15,   x + y + z = 180.   Ces équations se regroupent par exemple sous la forme : (2z – 30) + (z + 15) + z = 180.

2. Le nombre de publications dans la bibliothèque est donc :   Nombre de journaux (z) = 48,75,   Nombre de romans (x) = 67,5,   Nombre de magazines (y) = 63,75.

Cette correction détaille la démarche pour arriver au résultat.