Question : Déterminez si les carrés suivants sont magiques pour l’addition. Si oui, trouvez la valeur de \(x\).
Carré 1
| \(3x + 4\) | \(2x\) | \(x + 5\) |
|---|---|---|
| \(x + 2\) | \(4x + 1\) | \(2x + 3\) |
| \(2x + 1\) | \(3x + 3\) | \(x + 4\) |
Carré 2
| \(x + 3\) | \(2x + 2\) | \(3x\) |
|---|---|---|
| \(4x + 2\) | \(2x + 1\) | \(x + 2\) |
| \(x + 6\) | \(3x - 1\) | \(2x + 5\) |
Aucun des deux carrés n’est un carré magique pour l’addition, car les sommes des lignes ne sont pas toutes égales.
Nous allons examiner chacun des deux carrés proposés pour déterminer s’ils sont des carrés magiques pour l’addition. Un carré magique pour l’addition est un carré où la somme des nombres dans chaque ligne, chaque colonne et les deux diagonales est identique. Si un carré est magique, nous allons trouver la valeur de \(x\).
| \(3x + 4\) | \(2x\) | \(x + 5\) |
|---|---|---|
| \(x + 2\) | \(4x + 1\) | \(2x + 3\) |
| \(2x + 1\) | \(3x + 3\) | \(x + 4\) |
Étape 1 : Calculer les sommes des lignes
Première ligne : \[ (3x + 4) + (2x) + (x + 5) = 6x + 9 \]
Deuxième ligne : \[ (x + 2) + (4x + 1) + (2x + 3) = 7x + 6 \]
Troisième ligne : \[ (2x + 1) + (3x + 3) + (x + 4) = 6x + 8 \]
Étape 2 : Vérifier l’égalité des sommes des lignes
Nous observons que les sommes des lignes sont : \[ 6x + 9, \quad 7x + 6, \quad 6x + 8 \]
Pour que le carré soit magique, toutes ces sommes doivent être égales. On égalise les deux premières : \[ 6x + 9 = 7x + 6 \\ \Rightarrow 7x - 6x = 9 - 6 \\ \Rightarrow x = 3 \]
Étape 3 : Vérifier la somme commune
Remplaçons \(x = 3\) dans les sommes des lignes :
Première ligne : \[ 6(3) + 9 = 18 + 9 = 27 \]
Deuxième ligne : \[ 7(3) + 6 = 21 + 6 = 27 \]
Troisième ligne : \[ 6(3) + 8 = 18 + 8 = 26 \]
Les sommes ne sont pas égales (27, 27, 26), donc le Carré 1 n’est pas un carré magique pour l’addition.
| \(x + 3\) | \(2x + 2\) | \(3x\) |
|---|---|---|
| \(4x + 2\) | \(2x + 1\) | \(x + 2\) |
| \(x + 6\) | \(3x - 1\) | \(2x + 5\) |
Étape 1 : Calculer les sommes des lignes
Première ligne : \[ (x + 3) + (2x + 2) + (3x) = 6x + 5 \]
Deuxième ligne : \[ (4x + 2) + (2x + 1) + (x + 2) = 7x + 5 \]
Troisième ligne : \[ (x + 6) + (3x - 1) + (2x + 5) = 6x + 10 \]
Étape 2 : Vérifier l’égalité des sommes des lignes
Les sommes des lignes sont : \[ 6x + 5, \quad 7x + 5, \quad 6x + 10 \]
Égalisons les deux premières : \[ 6x + 5 = 7x + 5 \\ \Rightarrow 7x - 6x = 5 - 5 \\ \Rightarrow x = 0 \]
Étape 3 : Vérifier la somme commune
Remplaçons \(x = 0\) dans les sommes des lignes :
Première ligne : \[ 6(0) + 5 = 0 + 5 = 5 \]
Deuxième ligne : \[ 7(0) + 5 = 0 + 5 = 5 \]
Troisième ligne : \[ 6(0) + 10 = 0 + 10 = 10 \]
Les sommes ne sont pas toutes égales (5, 5, 10), donc le Carré 2 n’est pas un carré magique pour l’addition.
Conclusion : Aucun des deux carrés proposés n’est un carré magique pour l’addition.