Question : Le périmètre d’un rectangle est de \(48\) cm. Si l’on triple sa longueur et double sa largeur, le périmètre augmente de \(72\) cm. Déterminez la longueur et la largeur du rectangle.
La longueur et la largeur du rectangle initial sont de 12 cm, donc c’est un carré.
Nous allons résoudre l’exercice étape par étape.
Définissons les variables : • Soit L la longueur du rectangle (en cm). • Soit l la largeur du rectangle (en cm).
Écrivons l’équation du périmètre initial : • Le périmètre d’un rectangle est donné par P = 2(L + l). • Ici, P = 48 cm, donc :
2(L + l) = 48
L + l = 48 ÷ 2 = 24
Nous obtenons la première équation :
Traitons le cas du rectangle modifié : • La longueur est triplée : nouvelle longueur = 3L. • La largeur est doublée : nouvelle largeur = 2l. • Le nouveau périmètre est donc :
P’ = 2(3L + 2l) = 6L + 4l
On nous dit que le périmètre augmente de 72 cm. Le nouveau périmètre vaut dès lors :
P’ = 48 (périmètre initial) + 72 = 120
On met cela en équation :
6L + 4l = 120
C’est la deuxième équation :
Résolvons le système des deux équations obtenues :
• Première équation : L + l = 24
• Deuxième équation : 6L + 4l = 120
Pour simplifier, multiplions l’équation (1) par 4, de façon à obtenir le même coefficient devant l pour les deux équations :
4(L + l) = 4 × 24
4L + 4l = 96
Maintenant, nous avons :
Soustrayons (a) de (b) :
(6L + 4l) − (4L + 4l) = 120 − 96
(6L − 4L) + (4l − 4l) = 24
2L = 24
En divisant par 2 :
L = 12
Déterminons ensuite la largeur l en utilisant l’équation (1) :
L + l = 24
12 + l = 24
En isolant l :
l = 24 − 12
l = 12
Conclusion : La longueur du rectangle est de 12 cm et la largeur
est aussi de 12 cm.
Ainsi, le rectangle initial est en réalité un carré.
Chaque étape a permis de mettre en place les équations et de les résoudre pour trouver les dimensions du rectangle.