Exercice 51

Résoudre le système d’inéquations suivant :

\[ \begin{cases} 4x + 4 < 1 \\ 5x - 2 \geq 3x - 12 \end{cases} \]
Résoudre le système d’inéquations suivant :

\[ \begin{cases} x + 3 \geq 0 \\ 2x + 5 > \dfrac{x}{2} - 1 \end{cases} \]
Résoudre le système d’inéquations suivant :

\[ \begin{cases} 2x + 1 \geq x - \dfrac{3}{2} \\ 2x - 1 \leq 1 - 3x \end{cases} \]
Résoudre le système d’inéquations suivant :

\[ \begin{cases} 5x - 2 < \dfrac{x + 50}{3} \\ 2x - 1 > x + 3 \end{cases} \]
Résoudre l’inéquation suivante :

\[ \dfrac{x - 2}{5} + \dfrac{x}{2} \leq 3x - 5 \leq x - \dfrac{2x - 1}{3} \]
Résoudre le système d’inéquations suivant :

\[ \begin{cases} \dfrac{5x - 4}{2} - \dfrac{x + 3}{4} > 2x - 4 \\ \dfrac{x}{2} - 3 \leq 0 \end{cases} \]

Réponse

x ∈ { tous les réels tels que –5 ≤ x < –¾ }
x ∈ { tous les réels tels que x ≥ –3 }
x ∈ [–5/2, 2/5]
Aucun x ne satisfait le système
x = 2
x ∈ { tous les réels tels que –5 < x ≤ 6 }

Corrigé détaillé

Nous allons détailler la résolution de chaque système étape par étape.

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1. Système d’inéquations
4x + 4 < 1 et 5x – 2 ≥ 3x – 12

Résolvons la première inéquation :
• 4x + 4 < 1
– On soustrait 4 des deux côtés : 4x < 1 – 4, c’est-à-dire 4x < –3
– On divise ensuite par 4 (la division par un nombre positif ne change pas le sens de l’inéquation) : x < –3/4
Résolvons la deuxième inéquation :
• 5x – 2 ≥ 3x – 12
– On soustrait 3x de chaque côté : (5x – 3x) – 2 ≥ –12, ce qui donne 2x – 2 ≥ –12
– On ajoute 2 aux deux côtés : 2x ≥ –10
– On divise par 2 : x ≥ –5
L’ensemble solution du système est l’intersection des deux solutions :
x doit satisfaire à la fois x ≥ –5 et x < –3/4.
Donc, la solution est :
x ∈ { tous nombres réels tels que –5 ≤ x < –3/4 }.

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2. Système d’inéquations
x + 3 ≥ 0 et 2x + 5 > (x/2) – 1

Pour la première inéquation :
• x + 3 ≥ 0
– On soustrait 3 des deux côtés : x ≥ –3
Pour la deuxième inéquation :
• 2x + 5 > (x/2) – 1
– Pour se débarrasser de la fraction, multiplions chaque membre par 2 (ce qui ne change pas le sens de l’inéquation car 2 est positif) : 2 × (2x + 5) > 2 × [(x/2) – 1]
Ce qui donne : 4x + 10 > x – 2
– On soustrait x des deux côtés : 3x + 10 > –2
– On soustrait 10 : 3x > –12
– On divise par 3 : x > –4
L’intersection des deux conditions est :
x ≥ –3 et x > –4.
La condition x ≥ –3 est la plus restrictive.
La solution est donc :
x ∈ { tous les nombres réels tels que x ≥ –3 }.

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3. Système d’inéquations
2x + 1 ≥ x – (3/2) et 2x – 1 ≤ 1 – 3x

Pour la première inéquation :
• 2x + 1 ≥ x – (3/2)
– Soustrayons x des deux côtés : x + 1 ≥ –(3/2)
– Soustrayons 1 des deux côtés : x ≥ –(3/2) – 1
Remarquons que 1 = 2/2, donc : –(3/2) – (2/2) = –(5/2)
Ainsi, x ≥ –5/2
Pour la deuxième inéquation :
• 2x – 1 ≤ 1 – 3x
– Additionnons 3x à chaque côté : 5x – 1 ≤ 1
– Ajoutons 1 : 5x ≤ 2
– Divisons par 5 : x ≤ 2/5
L’intersection des deux conditions est :
–5/2 ≤ x ≤ 2/5.

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4. Système d’inéquations
5x – 2 < (x + 50) / 3 et 2x – 1 > x + 3

Pour la première inéquation :
• 5x – 2 < (x + 50)/3
– On multiplie chaque côté par 3 pour éliminer la fraction : 3(5x – 2) < x + 50
Ce qui donne : 15x – 6 < x + 50
– Soustrayons x : 14x – 6 < 50
– Ajoutons 6 : 14x < 56
– Divisons par 14 : x < 4
Pour la deuxième inéquation :
• 2x – 1 > x + 3
– Soustrayons x des deux côtés : x – 1 > 3
– Ajoutons 1 : x > 4
On cherche un nombre x qui soit à la fois inférieur à 4 et supérieur à 4. Ces conditions sont incompatibles.
La solution de ce système est donc l’ensemble vide (aucune valeur de x ne satisfait les deux inégalités).

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5. Inéquation composée
[(x – 2)/5 + x/2] ≤ 3x – 5 ≤ [x – (2x – 1)/3]

Cette inéquation se découpe en deux parties, dont nous devons trouver l’ensemble intersection.

Partie A : (x – 2)/5 + x/2 ≤ 3x – 5
1) Pour additionner, trouvons un dénominateur commun. Le PPCM de 5 et 2 est 10.
• (x – 2)/5 = [2(x – 2)]/10 = (2x – 4)/10
• x/2 = [5x]/10
Donc, (x – 2)/5 + x/2 = (2x – 4 + 5x) / 10 = (7x – 4)/10
2) L’inéquation devient :
(7x – 4)/10 ≤ 3x – 5
3) Multiplions par 10 (nombre positif) :
7x – 4 ≤ 30x – 50
4) Soustrayons 7x :
–4 ≤ 23x – 50
5) Ajoutons 50 :
46 ≤ 23x
6) Divisons par 23 :
x ≥ 46/23, c’est-à-dire x ≥ 2

Partie B : 3x – 5 ≤ x – (2x – 1)/3
1) Simplifions le côté droit :
x – (2x – 1)/3
Pour mettre x sur dénominateur 3, on écrit : x = 3x/3
Ainsi, x – (2x – 1)/3 = [3x – (2x – 1)]/3 = (3x – 2x + 1)/3 = (x + 1)/3
2) L’inéquation devient :
3x – 5 ≤ (x + 1)/3
3) Multiplions par 3 :
9x – 15 ≤ x + 1
4) Soustrayons x :
8x – 15 ≤ 1
5) Ajoutons 15 :
8x ≤ 16
6) Divisons par 8 :
x ≤ 2

Intersection des deux parties :
x ≥ 2 et x ≤ 2 ⟹ x = 2

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6. Système d’inéquations
[(5x – 4)/2 – (x + 3)/4] > 2x – 4 et x/2 – 3 ≤ 0

Pour la première inéquation, mettons au même dénominateur :
• (5x – 4)/2 = [2(5x – 4)]/4 = (10x – 8)/4
• Ainsi, (10x – 8)/4 – (x + 3)/4 = (10x – 8 – x – 3)/4 = (9x – 11)/4
L’inéquation devient :
(9x – 11)/4 > 2x – 4
1. Multiplions par 4 pour éliminer le dénominateur :
9x – 11 > 8x – 16
2. Soustrayons 8x des deux côtés :
x – 11 > –16
3. Ajoutons 11 :
x > –5
Pour la deuxième inéquation :
• x/2 – 3 ≤ 0
– Additionnons 3 : x/2 ≤ 3
– Multipliant par 2 : x ≤ 6

L’intersection des deux solutions est :
x > –5 et x ≤ 6.
En d’autres termes, x ∈ { tous les nombres réels tels que –5 < x ≤ 6 }.

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Résumé des solutions :

x ∈ { tous les réels tels que –5 ≤ x < –3/4 }
x ∈ { tous les réels tels que x ≥ –3 }
x ∈ [–5/2, 2/5]
Pas de solution (ensemble vide)
x = 2
x ∈ { tous les réels tels que –5 < x ≤ 6 }

Chaque étape a été réalisée en appliquant des opérations arithmétiques élémentaires et en prenant soin d’isoler la variable x tout en respectant le sens des inéquations.