Exercice 50

Résoudre les systèmes d’inéquations suivants :

1. \[ \begin{cases} 2x - 2 \leq 3 \\ 2x + 1 \geq -2x + 5 \end{cases} \]

2. \[ \begin{cases} 4x - 1 \leq 0 \\ 2x \geq 5x - 7 \end{cases} \]

3. \[ 7x \leq 3x - 2 \leq 5x + 3 \]

4. \[ \begin{cases} 2x - 3 \leq 5x + 1 \\ -2x \geq -3x + 4 \end{cases} \]

5. \[ \begin{cases} 3x - 4 \leq 5x + 2 \\ x \geq 3x - 2 \end{cases} \]

6. \[ 3x - 1 \leq 5x \leq 2x + 4 \]

Réponse

1. x ∈ [1 ; 5/2]
2. x ∈ (–∞ ; 1/4]
3. x ∈ [–5/2 ; –1/2]
4. x ∈ [4 ; +∞)
5. x ∈ [–3 ; 1]
6. x ∈ [–1/2 ; 4/3]

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chaque système d’inéquations étape par étape.

─────────────────────────────
1) Système :
    2x – 2 ≤ 3
    2x + 1 ≥ –2x + 5

1. Pour la première inéquation, 2x – 2 ≤ 3 :
    • Ajoutons 2 des deux côtés :
     2x ≤ 3 + 2
     2x ≤ 5
    • Divisons ensuite par 2 :
     x ≤ 5/2

2. Pour la deuxième inéquation, 2x + 1 ≥ –2x + 5 :
    • Ajoutons 2x aux deux côtés pour regrouper les x :
     2x + 1 + 2x ≥ 5
     4x + 1 ≥ 5
    • Soustrayons 1 :
     4x ≥ 4
    • Divisons par 4 :
     x ≥ 1

La solution du système est l’intersection des deux solutions :
 x doit satisfaire à la fois x ≤ 5/2 et x ≥ 1.
Ainsi, la solution est :
  x ∈ [1 ; 5/2].

─────────────────────────────
2) Système :
    4x – 1 ≤ 0
    2x ≥ 5x – 7

1. Pour 4x – 1 ≤ 0 :
    • Ajoutons 1 aux deux côtés :
     4x ≤ 1
    • Divisons ensuite par 4 :
     x ≤ 1/4

2. Pour 2x ≥ 5x – 7 :
    • Soustrayons 5x des deux côtés :
     2x – 5x ≥ –7
     –3x ≥ –7
    • Divisons par –3 en changeant le sens de l’inégalité (car on divise par un nombre négatif) :
     x ≤ 7/3

Ici, on doit satisfaire x ≤ 1/4 et x ≤ 7/3. Or, l’inégalité la plus restrictive est x ≤ 1/4.
La solution du système est donc :
  x ∈ (–∞ ; 1/4].

─────────────────────────────
3) Inéquation composée :
  7x ≤ 3x – 2 ≤ 5x + 3

Une inéquation composée se découpe en deux inéquations distinctes qui doivent être satisfaites simultanément.

Première partie : 7x ≤ 3x – 2
 • Soustrayons 3x des deux côtés :
  7x – 3x ≤ –2
  4x ≤ –2
 • Divisons par 4 :
  x ≤ –1/2

Deuxième partie : 3x – 2 ≤ 5x + 3
 • Soustrayons 3x des deux côtés :
  –2 ≤ 2x + 3
 • Soustrayons 3 :
  –5 ≤ 2x
 • Divisons par 2 :
  x ≥ –5/2

Pour que les deux conditions soient remplies, x doit être à la fois supérieur ou égal à –5/2 et inférieur ou égal à –1/2.
La solution est donc :
  x ∈ [–5/2 ; –1/2].

─────────────────────────────
4) Système :
    2x – 3 ≤ 5x + 1
    –2x ≥ –3x + 4

1. Pour 2x – 3 ≤ 5x + 1 :
    • Soustrayons 2x des deux côtés :
     –3 ≤ 3x + 1
    • Soustrayons 1 :
     –4 ≤ 3x
    • Divisons par 3 :
     x ≥ –4/3

2. Pour –2x ≥ –3x + 4 :
    • Ajoutons 3x des deux côtés :
     x ≥ 4

La solution du système doit satisfaire x ≥ –4/3 et x ≥ 4. Comme x ≥ 4 implique aussi x ≥ –4/3, seule la condition x ≥ 4 est déterminante.
La solution du système est :
  x ∈ [4 ; +∞).

─────────────────────────────
5) Système :
    3x – 4 ≤ 5x + 2
    x ≥ 3x – 2

1. Pour 3x – 4 ≤ 5x + 2 :
    • Soustrayons 3x des deux côtés :
     –4 ≤ 2x + 2
    • Soustrayons 2 :
     –6 ≤ 2x
    • Divisons par 2 :
     x ≥ –3

2. Pour x ≥ 3x – 2 :
    • Soustrayons 3x des deux côtés :
     x – 3x ≥ –2
     –2x ≥ –2
    • Divisons par –2 en changeant le sens de l’inégalité :
     x ≤ 1

L’intersection des solutions x ≥ –3 et x ≤ 1 donne :
  x ∈ [–3 ; 1].

─────────────────────────────
6) Inéquation composée :
  3x – 1 ≤ 5x ≤ 2x + 4

On découpe en deux inéquations :

Première partie : 3x – 1 ≤ 5x
 • Soustrayons 3x des deux côtés :
  –1 ≤ 2x
 • Divisons par 2 :
  x ≥ –1/2

Deuxième partie : 5x ≤ 2x + 4
 • Soustrayons 2x des deux côtés :
  3x ≤ 4
 • Divisons par 3 :
  x ≤ 4/3

x doit satisfaire à la fois x ≥ –1/2 et x ≤ 4/3.
La solution est donc :
  x ∈ [–1/2 ; 4/3].

─────────────────────────────
Récapitulatif des solutions :

1. x ∈ [1 ; 5/2]
   
2. x ∈ (–∞ ; 1/4]
   
3. x ∈ [–5/2 ; –1/2]
   
4. x ∈ [4 ; +∞)
   
5. x ∈ [–3 ; 1]
   
6. x ∈ [–1/2 ; 4/3]

Chaque système a été résolu en isolant la variable et en trouvant l’intervalle de valeurs qui satisfait toutes les inéquations simultanément.