Deux capitaux génèrent ensemble 6 600 fr d’intérêts annuels. L’un, placé à 4 %, est supérieur de 12 000 fr à l’autre, placé à 4,5 %. Quels sont ces deux capitaux ?
Les deux capitaux sont : - \(C_1 = 84\,000\,\text{fr}\) - \(C_2 = 72\,000\,\text{fr}\)
Pour résoudre ce problème, suivons une démarche étape par étape en définissant d’abord les variables, puis en établissant et résolvant les équations nécessaires.
Soit : - \(C_1\) : le premier capital placé à 4 %. - \(C_2\) : le second capital placé à 4,5 %.
On nous donne deux informations : 1. Les deux capitaux génèrent ensemble 6 600 fr d’intérêts annuels. 2. Le premier capital \(C_1\) est supérieur de 12 000 fr au second capital \(C_2\).
Les intérêts générés par un capital se calculent en multipliant le capital par le taux d’intérêt.
Intérêt généré par \(C_1\) : \[ I_1 = C_1 \times 4\% = 0,04 \times C_1 \]
Intérêt généré par \(C_2\) : \[ I_2 = C_2 \times 4,5\% = 0,045 \times C_2 \]
Ensemble, les intérêts sont de 6 600 fr : \[ I_1 + I_2 = 6\,600 \] \[ 0,04\,C_1 + 0,045\,C_2 = 6\,600 \quad \text{(1)} \]
On sait que \(C_1\) est supérieur de 12 000 fr à \(C_2\) : \[ C_1 = C_2 + 12\,000 \quad \text{(2)} \]
Nous avons deux équations : \[ \begin{cases} 0,04\,C_1 + 0,045\,C_2 = 6\,600 \quad \text{(1)} \\ C_1 = C_2 + 12\,000 \quad \text{(2)} \end{cases} \]
Remplaçons \(C_1\) dans l’équation (1) par \(C_2 + 12\,000\) : \[ 0,04\,(C_2 + 12\,000) + 0,045\,C_2 = 6\,600 \]
Développons l’expression : \[ 0,04\,C_2 + 480 + 0,045\,C_2 = 6\,600 \]
Regroupons les termes semblables : \[ (0,04 + 0,045)\,C_2 + 480 = 6\,600 \] \[ 0,085\,C_2 + 480 = 6\,600 \]
Soustrayons 480 des deux côtés : \[ 0,085\,C_2 = 6\,600 - 480 \] \[ 0,085\,C_2 = 6\,120 \]
Divisons les deux côtés par 0,085 pour trouver \(C_2\) : \[ C_2 = \frac{6\,120}{0,085} \] \[ C_2 = 72\,000\,\text{fr} \]
Utilisons l’équation (2) pour trouver \(C_1\) : \[ C_1 = C_2 + 12\,000 \] \[ C_1 = 72\,000 + 12\,000 \] \[ C_1 = 84\,000\,\text{fr} \]
Les deux capitaux sont donc : - \(C_1 = 84\,000\,\text{fr}\) - \(C_2 = 72\,000\,\text{fr}\)
Ces valeurs respectent les conditions données dans l’énoncé, puisqu’ensemble, ils génèrent 6 600 fr d’intérêts annuels avec les taux respectifs de 4 % et 4,5 %, et \(C_1\) est bien supérieur de 12 000 fr à \(C_2\).