Le rapport de deux nombres est de \(\frac{5}{16}\) et leur produit est 45. Quels sont ces nombres ?
Les deux nombres sont 3,75 et 12.
Correction :
Énoncé : Le rapport de deux nombres est de \(\frac{5}{16}\) et leur produit est 45. Quels sont ces nombres ?
Étape 1 : Définir les inconnues
Supposons que les deux nombres soient \(x\) et \(y\). Selon l’énoncé, nous avons deux informations :
Le rapport des deux nombres : \[ \frac{x}{y} = \frac{5}{16} \]
Le produit des deux nombres : \[ x \times y = 45 \]
Étape 2 : Exprimer une variable en fonction de l’autre
À partir du rapport \(\frac{x}{y} = \frac{5}{16}\), nous pouvons exprimer \(x\) en fonction de \(y\) : \[ x = \frac{5}{16} y \]
Étape 3 : Substituer dans l’équation du produit
Remplaçons \(x\) dans l’équation \(x \times y = 45\) par \(\frac{5}{16} y\) : \[ \left( \frac{5}{16} y \right) \times y = 45 \] \[ \frac{5}{16} y^2 = 45 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(y\)
Pour isoler \(y^2\), multiplions les deux côtés de l’équation par 16 : \[ 5 y^2 = 45 \times 16 \] \[ 5 y^2 = 720 \]
Divisons ensuite par 5 : \[ y^2 = \frac{720}{5} \] \[ y^2 = 144 \]
Prenons la racine carrée des deux côtés pour trouver \(y\) : \[ y = \sqrt{144} \] \[ y = 12 \]
Étape 5 : Trouver \(x\)
Maintenant que nous connaissons la valeur de \(y\), utilisons l’expression \(x = \frac{5}{16} y\) pour trouver \(x\) : \[ x = \frac{5}{16} \times 12 \] \[ x = \frac{60}{16} \] \[ x = \frac{15}{4} \] \[ x = 3,75 \]
Conclusion :
Les deux nombres recherchés sont donc \(3,\!75\) et \(12\).