Trouvez un nombre à trois chiffres sachant que :
Le nombre recherché est 783.
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser une approche systématique en définissant les variables appropriées et en établissant des équations basées sur les informations fournies.
Étape 1 : Définir les variables
Supposons que le nombre à trois chiffres soit \(\overline{ABC}\), où : - \(A\) est le chiffre des centaines, - \(B\) est le chiffre des dizaines, - \(C\) est le chiffre des unités.
Étape 2 : Traduire les informations en équations
Nous avons trois conditions fournies dans l’énoncé :
La somme des chiffres est égale à 18 : \[ A + B + C = 18 \]
Le chiffre des dizaines est égal à \(\frac{4}{5}\) de la somme des deux autres chiffres : \[ B = \frac{4}{5}(A + C) \]
Le nombre dépasse de 396 le nombre renversé : \[ \overline{ABC} - \overline{CBA} = 396 \]
Pour exprimer les nombres \(\overline{ABC}\) et \(\overline{CBA}\) en termes de \(A\), \(B\) et \(C\), rappelons que : \[ \overline{ABC} = 100A + 10B + C \] \[ \overline{CBA} = 100C + 10B + A \]
En substituant ces expressions dans l’équation : \[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 396 \]
Simplifions : \[ 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 396 \] \[ (100A - A) + (10B - 10B) + (C - 100C) = 396 \] \[ 99A - 99C = 396 \] \[ 99(A - C) = 396 \] \[ A - C = \frac{396}{99} = 4 \]
Donc : \[ A = C + 4 \]
Étape 3 : Résoudre le système d’équations
Nous avons maintenant deux équations principales :
Remplaçons \(A\) par \(C + 4\) dans les deux premières équations.
Substitution dans la première équation : \[ (C + 4) + B + C = 18 \] \[ 2C + B + 4 = 18 \] \[ 2C + B = 14 \quad \text{(Équation 1)} \]
Substitution dans la deuxième équation : \[ B = \frac{4}{5}((C + 4) + C) = \frac{4}{5}(2C + 4) \] \[ B = \frac{8C + 16}{5} \]
Maintenant, substituons \(B\) dans l’Équation 1 : \[ 2C + \frac{8C + 16}{5} = 14 \]
Pour éliminer le dénominateur, multiplions toute l’équation par 5 : \[ 5 \times 2C + 5 \times \frac{8C + 16}{5} = 5 \times 14 \] \[ 10C + 8C + 16 = 70 \] \[ 18C + 16 = 70 \] \[ 18C = 70 - 16 \] \[ 18C = 54 \] \[ C = \frac{54}{18} = 3 \]
Maintenant que nous connaissons \(C = 3\), trouvons \(A\) : \[ A = C + 4 = 3 + 4 = 7 \]
Ensuite, trouvons \(B\) en utilisant la deuxième équation : \[ B = \frac{4}{5}(A + C) = \frac{4}{5}(7 + 3) = \frac{4}{5}(10) = 8 \]
Étape 4 : Vérifier les solutions trouvées
Nous obtenons : \[ A = 7,\quad B = 8,\quad C = 3 \]
Le nombre est donc \(\overline{ABC} = 783\).
Vérifions les conditions :
Somme des chiffres : \[ 7 + 8 + 3 = 18 \quad \checkmark \]
Chiffre des dizaines : \[ 8 = \frac{4}{5}(7 + 3) = \frac{4}{5} \times 10 = 8 \quad \checkmark \]
Différence avec le nombre renversé : \[ 783 - 387 = 396 \quad \checkmark \]
Conclusion
Le nombre recherché est 783.