Résoudre les systèmes suivants :
\[ \begin{cases} 2v + 2x - 3w - y = -3 \\ v + w + x = 4 \\ 2v - w = -4 \\ v + w = 1 \end{cases} \]
\[ \frac{1}{2}x + \frac{y}{4} - z = \frac{45}{4} \]
\[ \begin{cases} 4 + y + x = 12 \\ \frac{3}{2}x + y - \frac{1}{2}z = \frac{35}{2} \\ 3z - 2y + 25 = -x \end{cases} \]
Solutions :
Problème 1 : \[ v = -1, \ w = 2, \ x = 3, \ y = 1 \]
Problème 2 : - a) \(y = 45 - 2x + 4z\) - b) \[ x = 8, \ y = 0, \ z = -11 \]
Résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} 2v + 2x - 3w - y = -3 \quad (1)\\ v + w + x = 4 \quad (2)\\ 2v - w = -4 \quad (3)\\ v + w = 1 \quad (4) \end{cases} \]
Observons que les équations (2) et (4) contiennent les mêmes variables \(v\) et \(w\). Nous pouvons essayer de réduire le nombre d’inconnues en utilisant ces deux équations.
À partir de l’équation (4) : \[ v + w = 1 \quad (4) \] Nous pouvons exprimer \(v\) en fonction de \(w\) : \[ v = 1 - w \quad (5) \]
Remplaçons \(v\) par \(1 - w\) dans les équations (2) et (3).
Dans l’équation (2) : \[ v + w + x = 4 \] Substituons \(v = 1 - w\) : \[ (1 - w) + w + x = 4 \\ 1 + x = 4 \\ x = 4 - 1 \\ x = 3 \quad (6) \]
Dans l’équation (3) : \[ 2v - w = -4 \] Substituons \(v = 1 - w\) : \[ 2(1 - w) - w = -4 \\ 2 - 2w - w = -4 \\ 2 - 3w = -4 \\ -3w = -4 - 2 \\ -3w = -6 \\ w = \frac{-6}{-3} \\ w = 2 \quad (7) \]
Maintenant que nous avons la valeur de \(w\), substituons-la dans l’équation (5) pour trouver \(v\) : \[ v = 1 - w \\ v = 1 - 2 \\ v = -1 \quad (8) \]
Ensuite, utilisons les valeurs de \(v\), \(w\) et \(x\) dans l’équation (1) pour trouver \(y\) : \[ 2v + 2x - 3w - y = -3 \\ 2(-1) + 2(3) - 3(2) - y = -3 \\ -2 + 6 - 6 - y = -3 \\ (-2 + 6) + (-6) - y = -3 \\ 4 - 6 - y = -3 \\ -2 - y = -3 \\ -y = -3 + 2 \\ -y = -1 \\ y = 1 \quad (9) \]
Les solutions du système sont : \[ \begin{cases} v = -1 \\ w = 2 \\ x = 3 \\ y = 1 \end{cases} \]
Résoudre l’équation suivante :
\[ \frac{1}{2}x + \frac{y}{4} - z = \frac{45}{4} \]
Étape 1 : Simplifier l’équation
Pour éliminer les fractions, multiplions chaque terme par 4 (le dénominateur commun) :
\[ 4 \left( \frac{1}{2}x \right) + 4 \left( \frac{y}{4} \right) - 4z = 4 \left( \frac{45}{4} \right) \\ 2x + y - 4z = 45 \quad (10) \]
Étape 2 : Isoler une variable
Supposons que nous voulons exprimer \(y\) en fonction de \(x\) et \(z\) :
\[ 2x + y - 4z = 45 \\ y = 45 - 2x + 4z \quad (11) \]
Conclusion
L’équation peut être exprimée comme \(y = 45 - 2x + 4z\), montrant la relation entre \(y\), \(x\) et \(z\).
Résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} 4 + y + x = 12 \quad (12)\\ \frac{3}{2}x + y - \frac{1}{2}z = \frac{35}{2} \quad (13)\\ 3z - 2y + 25 = -x \quad (14) \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier les équations
Commencemos simplifiant chaque équation pour exprimer une variable en fonction des autres.
Équation (12) : \[ 4 + y + x = 12 \\ y + x = 12 - 4 \\ y + x = 8 \quad (15) \]
Équation (14) : \[ 3z - 2y + 25 = -x \\ -2y + 3z + 25 = -x \\ x = 2y - 3z - 25 \quad (16) \]
Étape 2 : Substituer \(x\) dans les autres équations
Utilisons l’expression de \(x\) trouvée dans l’équation (16) dans les équations (15) et (13).
Substitution dans l’équation (15) : \[ y + x = 8 \\ y + (2y - 3z - 25) = 8 \\ 3y - 3z - 25 = 8 \\ 3y - 3z = 8 + 25 \\ 3y - 3z = 33 \\ y - z = 11 \quad (17) \]
Substitution dans l’équation (13) : \[ \frac{3}{2}x + y - \frac{1}{2}z = \frac{35}{2} \] Remplaçons \(x\) par \(2y - 3z - 25\) : \[ \frac{3}{2}(2y - 3z - 25) + y - \frac{1}{2}z = \frac{35}{2} \\ 3y - \frac{9}{2}z - \frac{75}{2} + y - \frac{1}{2}z = \frac{35}{2} \\ (3y + y) + \left( -\frac{9}{2}z - \frac{1}{2}z \right) - \frac{75}{2} = \frac{35}{2} \\ 4y - 5z - \frac{75}{2} = \frac{35}{2} \\ 4y - 5z = \frac{35}{2} + \frac{75}{2} \\ 4y - 5z = \frac{110}{2} \\ 4y - 5z = 55 \quad (18) \]
Étape 3 : Résoudre les équations (17) et (18)
Nous avons maintenant deux équations avec deux inconnues \(y\) et \(z\) :
\[ \begin{cases} y - z = 11 \quad (17)\\ 4y - 5z = 55 \quad (18) \end{cases} \]
Méthode de substitution :
De l’équation (17), exprimons \(y\) en fonction de \(z\) : \[ y = z + 11 \quad (19) \]
Substituons \(y = z + 11\) dans l’équation (18) : \[ 4(z + 11) - 5z = 55 \\ 4z + 44 - 5z = 55 \\ - z + 44 = 55 \\ - z = 55 - 44 \\ - z = 11 \\ z = -11 \quad (20) \]
Maintenant, trouvons \(y\) en utilisant l’équation (19) : \[ y = z + 11 \\ y = -11 + 11 \\ y = 0 \quad (21) \]
Étape 4 : Trouver \(x\)
Utilisons l’expression de \(x\) dans l’équation (16) : \[ x = 2y - 3z - 25 \\ x = 2(0) - 3(-11) - 25 \\ x = 0 + 33 - 25 \\ x = 8 \quad (22) \]
Conclusion
Les solutions du système sont : \[ \begin{cases} x = 8 \\ y = 0 \\ z = -11 \end{cases} \]