Résoudre les systèmes suivants :
1) \[ \left\{ \begin{aligned} x + y + z &= 13 \\ 2y - z &= 0 \\ x - y &= 1 \end{aligned} \right. \]
2) \[ \left\{ \begin{aligned} \frac{2z + y}{x - y} &= \frac{5}{7} \\ \frac{z - x}{5x + y} &= \frac{3}{5} \\ \frac{z + 1}{y + 10x} &= \frac{2}{3} \end{aligned} \right. \]
3) \[ \left\{ \begin{aligned} x + 2y + 4z &= 8 \\ 2x + 3y + 5z &= 12 \\ \text{(3)} \end{aligned} \right. \]
4) \[ \left\{ \begin{aligned} \frac{x + y}{x + 2y} &= \frac{7}{11} \\ \frac{3y + 4z}{x + 2y} &= \frac{4}{11} \\ x + y + z &= 5 \end{aligned} \right. \]
Système 1 : x = 4, y = 3, z = 6.
Système 2 : x = 2/5, y = –1, z = 1.
Système 3 : x = 2z, y = 4 – 3z, z ∈ ℝ.
Système 4 : x = 3, y = 4, z = –2.
Nous allons résoudre chacun des systèmes en détaillant toutes les étapes de raisonnement.
────────────────────────────── Système 1)
────────────────────────────── Le système est : (1) x + y + z =
13
(2) 2y – z = 0
(3) x – y = 1
Étape 1 : Exprimer z en fonction de y en partant de l’équation
(2).
2y – z = 0 ⟹ z = 2y.
Étape 2 : Exprimer x en fonction de y à partir de l’équation
(3).
x – y = 1 ⟹ x = y + 1.
Étape 3 : Remplacer x et z dans l’équation (1).
L’équation (1) devient :
(y + 1) + y + (2y) = 13.
Calculons :
1 + y + y + 2y = 1 + 4y.
L’équation devient alors : 4y + 1 = 13.
On résout :
4y = 13 – 1 = 12
y = 12 / 4 = 3.
Étape 4 : On détermine x et z à l’aide de y.
x = y + 1 = 3 + 1 = 4
z = 2y = 2 × 3 = 6.
Solution du système 1 : x = 4, y = 3, z = 6.
────────────────────────────── Système 2)
────────────────────────────── Le système est : (1) (2z + y)⁄(x – y) =
5⁄7
(2) (z – x)⁄(5x + y) = 3⁄5
(3) (z + 1)⁄(y + 10x) = 2⁄3
Nous allons d’abord transformer chaque équation en éliminant la fraction (en multipliant en croix).
• À partir de (1) : 7(2z + y) = 5(x – y)
Développons : 14z + 7y = 5x – 5y
Rassemblons les termes en y d’un côté :
14z + 7y + 5y = 5x
14z + 12y = 5x (Éq. A)
• À partir de (2) : 5(z – x) = 3(5x + y)
Développons le côté gauche et le côté droit :
5z – 5x = 15x + 3y
Isolons 5z :
5z = 15x + 3y + 5x = 20x + 3y
Donc,
z = (20x + 3y) ⁄ 5 (Éq. B)
• À partir de (3) : 3(z + 1) = 2(y + 10x)
Calculons :
3z + 3 = 2y + 20x
Isolons 3z :
3z = 20x + 2y – 3 (Éq. C)
Maintenant, nous utiliserons l’Éq. B dans l’Éq. A pour éliminer z.
Étape 1 : Remplacer z dans l’Éq. A en utilisant (Éq. B).
Éq. A : 14z + 12y = 5x
Or, z = (20x + 3y)/5.
On a donc : 14 × [(20x + 3y)/5] + 12y = 5x.
Multiplions par 5 pour se débarrasser du dénominateur :
14(20x + 3y) + 60y = 25x.
Développons le premier terme :
280x + 42y + 60y = 25x
280x + 102y = 25x.
Isolons y : 102y = 25x – 280x = –255x
Ainsi,
y = (–255x)⁄102.
Simplifions la fraction :
Les deux nombres sont divisibles par 3 :
255 ÷ 3 = 85 et 102 ÷ 3 = 34, donc
y = –(85⁄34)x.
Comme 85 et 34 ont un facteur commun 17 :
85 = 5×17, 34 = 2×17,
y = –(5⁄2)x.
Étape 2 : Exprimer z en fonction de x avec l’Éq. B.
z = (20x + 3y)⁄5
Mais y = –(5⁄2)x, donc
z = [20x + 3×(–(5⁄2)x)]⁄5 = [20x – (15⁄2)x]⁄5.
Trouvons un dénominateur commun dans le numérateur :
20x = (40⁄2)x, ainsi
z = [(40⁄2)x – (15⁄2)x]⁄5 = [(25⁄2)x]⁄5 = (25x)⁄10 = (5x)⁄2.
Étape 3 : Utiliser l’Éq. C pour déterminer x.
L’Éq. C est : 3z = 20x + 2y – 3.
Remplaçons z et y par leurs expressions en fonction de x : 3×((5x)⁄2)
= 20x + 2×[–(5⁄2)x] – 3
(15x)⁄2 = 20x – (5x) – 3 = 15x – 3.
Multiplions par 2 pour éliminer le dénominateur : 15x = 2×(15x – 3) =
30x – 6
On récrit : 15x = 30x – 6
Isolons x : 30x – 15x = 6
15x = 6 ⟹ x = 6⁄15 = 2⁄5.
Étape 4 : Déterminer y et z à partir de x.
y = –(5⁄2)x = –(5⁄2)×(2⁄5) = –1.
z = (5⁄2)x = (5⁄2)×(2⁄5) = 1.
Solution du système 2 : x = 2⁄5, y = –1, z = 1.
────────────────────────────── Système 3)
────────────────────────────── Le système est : (1) x + 2y + 4z =
8
(2) 2x + 3y + 5z = 12
(3) (équation non précisée)
On remarque que seulement deux équations sont données pour trois inconnues. Cela signifie qu’il existe une famille de solutions paramétrées.
Étape 1 : Exprimer x en fonction de y et z à partir de (1).
x = 8 – 2y – 4z.
Étape 2 : Remplacer x dans l’équation (2).
(2) devient : 2(8 – 2y – 4z) + 3y + 5z = 12.
Développons : 16 – 4y – 8z + 3y + 5z = 12
16 – y – 3z = 12.
Isolons les termes en y et z : –y – 3z = 12 – 16 = –4
Multipliant par –1 : y + 3z = 4
D’où y = 4 – 3z.
Étape 3 : Remplacer y dans l’expression de x.
x = 8 – 2(4 – 3z) – 4z
= 8 – 8 + 6z – 4z
= 2z.
Conclusion pour le système 3 :
Les solutions s’expriment en fonction d’un paramètre (ici z est
libre).
x = 2z, y = 4 – 3z, z = z (z ∈ ℝ).
────────────────────────────── Système 4)
────────────────────────────── Le système est : (1) (x + y)⁄(x + 2y) =
7⁄11
(2) (3y + 4z)⁄(x + 2y) = 4⁄11
(3) x + y + z = 5
On remarquera que le dénominateur commun dans (1) et (2) est (x + 2y).
Étape 1 : Résoudre l’équation (1) pour établir une relation entre x
et y.
(x + y)/(x + 2y) = 7/11
Multiplions en croix :
11(x + y) = 7(x + 2y)
Développons :
11x + 11y = 7x + 14y
Regroupons les termes en x et y : 11x – 7x = 14y – 11y
4x = 3y
D’où y = (4⁄3)x.
Étape 2 : Remplacer y dans l’expression du dénominateur (x +
2y).
x + 2y = x + 2×(4⁄3)x = x + (8⁄3)x = (3x⁄3 + 8x⁄3) = (11x)/3.
Vérifions également (x + y) : x + y = x + (4⁄3)x = (3x + 4x)/3 =
(7x)/3, ce qui confirme que (x+y)/(x+2y) = (7x/3)/(11x/3) = 7/11.
Étape 3 : Utiliser l’équation (2) pour exprimer z en fonction de x et
y.
(3y + 4z)/(x + 2y) = 4/11
Comme x + 2y = (11x)/3, on écrit : 3y + 4z = (4/11) × (11x/3) = (4x)/3.
Mais y = (4⁄3)x, donc substituons : 3×(4⁄3)x + 4z = 4x/3
Ce qui donne : 4x + 4z = (4x)/3.
Isolons z : Divisons l’équation par 4 : x + z = x/3
Ainsi z = (x/3) – x = –(2⁄3)x.
Étape 4 : Employer l’équation (3) pour déterminer x.
x + y + z = 5
Substituons y et z en fonction de x : x + (4⁄3)x + [–(2⁄3)x] = 5
Regroupons : x + (4⁄3 – 2⁄3)x = x + (2⁄3)x = (5⁄3)x = 5
On en déduit :
(5⁄3)x = 5 ⟹ x = 5 × (3/5) = 3.
Étape 5 : Déterminer y et z.
y = (4⁄3)x = (4⁄3)×3 = 4
z = –(2⁄3)x = –(2⁄3)×3 = –2.
Solution du système 4 : x = 3, y = 4, z = –2.
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions ────────────────────────────── 1) x = 4, y = 3, z = 6.
2) x = 2⁄5, y = –1, z = 1.
3) Les solutions sont données par :
x = 2z, y = 4 – 3z, z ∈ ℝ.
4) x = 3, y = 4, z = –2.
Chaque étape a été expliquée en détail afin de bien comprendre le processus employé pour arriver aux solutions.