\[ \begin{cases} x - y + z = 16 \\ x + y - z = 6 \\ -x + y + z = -2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + y = z - 5 \\ z - 5 = y \\ y = 2x + z + y - 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}y = 4 \\ x - 5 = -z \\ 2y + 2z = 14 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x - 7 = -z \\ 6x + 3y + 3z = 9 \\ x - 7 + 2y = -z \end{cases} \]
Système 1 : x = 11, y = 2, z = 7.
Système 2 : x = 0, y = –4, z = 1.
Système 3 : x = 7, y = 9, z = –2.
Système 4 : x = –16/5, y = 4/5, z = 43/5.
Voici la correction détaillée de chacun des quatre systèmes.
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Système 1 :
On vous demande de résoudre le système (1) x – y + z = 16
(2) x + y – z = 6
(3) –x + y + z = –2
On additionne (1) et (2) pour éliminer y et z : (x – y + z) +
(x + y – z) = 16 + 6
2x = 22
On en déduit que x = 11.
On remplace x = 11 dans (1) : 11 – y + z = 16
–y + z = 5 (4)
Remplaçons également x = 11 dans (2) : 11 + y – z = 6
y – z = –5 (5)
Remarquez que l’équation (5) est équivalente à –y + z = 5, ce qui correspond exactement à (4).
Utilisons (3) avec x = 11 : –11 + y + z = –2
y + z = 9 (6)
On dispose alors de deux équations: –(4) z = y + 5 (6) y +
z = 9
Substituons z depuis (4) dans (6) : y + (y + 5) = 9
2y + 5 = 9
2y = 4
y = 2
Puis, z = 2 + 5 = 7.
La solution du premier système est donc : x = 11, y = 2, z = 7.
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Système 2 :
Le système à résoudre est : (1) x + y = z – 5
(2) z – 5 = y
(3) y = 2x + z + y – 1
Dans (3), on simplifie en soustrayant y des deux côtés : y – y
= 2x + z + y – 1 – y
0 = 2x + z – 1
On obtient : 2x + z = 1 (7)
Dans (2) on a directement l’expression : z – 5 = y ⇒ z = y + 5 (8)
Remplaçons (8) dans (1) : x + y = (y + 5) – 5
x + y = y
On en déduit que x = 0.
Avec x = 0 dans (7) : 2×0 + z = 1
z = 1
Ensuite, d’après (8), y = z – 5 = 1 – 5 = –4.
La solution du deuxième système est donc : x = 0, y = –4, z = 1.
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Système 3 :
On considère le système (1) (1/4)x + (1/4)y = 4
(2) x – 5 = –z
(3) 2y + 2z = 14
Multiplions (1) par 4 pour enlever les fractions : x + y = 16 (9)
Dans (2), isolons z : x – 5 = –z ⇒ z = 5 – x (10)
Simplifions (3) en divisant par 2 : y + z = 7 (11)
Substituons z de (10) dans (11) : y + (5 – x) = 7
y – x = 2 (12)
On a maintenant le système (9) et (12) : (9) x + y = 16
(12) –x + y = 2
Additionnons (9) et (12) : (x + y) + (–x + y) = 16 + 2
2y = 18
y = 9
Puis, dans (9), x = 16 – y = 16 – 9 = 7.
Enfin, de (10), z = 5 – 7 = –2.
La solution du troisième système est donc : x = 7, y = 9, z = –2.
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Système 4 :
Le système est le suivant : (1) (1/2)x – 7 = –z
(2) 6x + 3y + 3z = 9
(3) x – 7 + 2y = –z
À partir de (1), exprimons z : (1/2)x – 7 = –z
z = 7 – (1/2)x (13)
Simplifions (2) en divisant par 3 : 2x + y + z = 3 (14)
Dans (3), isolons z : x – 7 + 2y = –z ⇒ z = –(x – 7 + 2y) = –x + 7 – 2y (15)
Égalisons l’expression de z obtenue dans (13) et (15) : 7 –
(1/2)x = –x + 7 – 2y
Soustrayons 7 des deux côtés : –(1/2)x = –x – 2y
Multiplions par –1 : (1/2)x = x + 2y
Soustrayons (1/2)x de chaque côté : 0 = (1/2)x + 2y
Multiplions par 2 pour enlever la fraction : 0 = x + 4y
Ainsi, on obtient : x = –4y (16)
Remplaçons (16) et (13) dans (14). D’abord, (13) donne : z = 7
– (1/2)(–4y) = 7 + 2y
Ensuite, (14) devient : 2x + y + z = 3
Substituons x et z : 2(–4y) + y + (7 + 2y) = 3
–8y + y + 7 + 2y = 3
(–8y + y + 2y) + 7 = 3
–5y + 7 = 3
Soustrayez 7 : –5y = 3 – 7 = –4
Divisons par –5 : y = 4/5
Avec (16) : x = –4(4/5) = –16/5.
Et avec (13) : z = 7 – (1/2)(–16/5) = 7 + 8/5 = (35/5 + 8/5) =
43/5.
La solution du quatrième système est donc : x = –16/5, y = 4/5, z = 43/5.
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Réponses finales :
Chaque étape a permis d’éliminer progressivement une ou plusieurs inconnues pour trouver la solution de chaque système. N’hésitez pas à vous relire pour bien comprendre l’enchaînement des opérations.