\[ \begin{cases} x - y + 11 = 0 \\ 2y + z + 6 = -3x \\ -7 + x = -y - z \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x + 3 = \dfrac{7}{2} + \dfrac{z}{2} \\ 7x - 3z = 2 - 2y \\ 3x - 5y + 4z = 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4x + z = 0 \\ -5z + 6y = 12 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ 3x - y + 2z = 7 \\ x + y = 3 \end{cases} \]
\[ \boxed{ \begin{cases} x = 8 \\ y = 19 \\ z = -20 \end{cases} } \]
\[ \boxed{ \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases} } \]
\[ \boxed{ \begin{cases} z = -4x \\ y = 2 - \dfrac{10}{3}x \end{cases} } \] (Où \(x\) est un paramètre libre.)
\[ \boxed{ \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases} } \]
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} x - y + 11 = 0 \\ 2y + z + 6 = -3x \\ -7 + x = -y - z \end{cases} \]
Étape 1 : Réorganiser les équations
Tout d’abord, réécrivons chaque équation de manière à isoler les variables à gauche et les constantes à droite.
\(x - y + 11 = 0\)
\(\Rightarrow x - y = -11\)
\(\Rightarrow x = y - 11\)
(Équation 1)
\(2y + z + 6 = -3x\)
\(\Rightarrow -3x + 2y + z = -6\)
(Équation 2)
\(-7 + x = -y - z\)
Ajoutons \(y + z\) des deux côtés pour
regrouper les variables :
\(x + y + z = 7\) (Équation
3)
Étape 2 : Substituer \(x\) dans les autres équations
Nous avons exprimé \(x\) en fonction
de \(y\) dans l’équation 1 : \(x = y - 11\).
Substituons cette expression dans les équations 2 et 3.
Substitution dans l’équation 2 :
\[ -3(y - 11) + 2y + z = -6 \]
Développons :
\[ -3y + 33 + 2y + z = -6 \]
Simplifions :
\[ -y + z = -39 \quad \text{*(Équation 4)} \]
Substitution dans l’équation 3 :
\[ (y - 11) + y + z = 7 \]
Simplifions :
\[ 2y - 11 + z = 7 \]
\[ 2y + z = 18 \quad \text{*(Équation 5)} \]
Étape 3 : Résoudre le système réduit
Nous avons maintenant deux équations avec deux inconnues :
\[ \begin{cases} - y + z = -39 \quad \text{*(Équation 4)} \\ 2y + z = 18 \quad \text{*(Équation 5)} \end{cases} \]
Pour éliminer \(z\), soustrayons l’équation 4 de l’équation 5 :
\[ (2y + z) - (-y + z) = 18 - (-39) \]
Simplifions :
\[ 3y = 57 \]
\[ y = 19 \]
Étape 4 : Trouver \(z\) et \(x\)
Trouver \(z\) à partir de l’équation 4 :
\[ -19 + z = -39 \]
\[ z = -39 + 19 = -20 \]
Trouver \(x\) à partir de l’équation 1 :
\[ x = y - 11 = 19 - 11 = 8 \]
Solution du système :
\[ \boxed{ \begin{cases} x = 8 \\ y = 19 \\ z = -20 \end{cases} } \]
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} 2x + 3 = \dfrac{7}{2} + \dfrac{z}{2} \\ 7x - 3z = 2 - 2y \\ 3x - 5y + 4z = 5 \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier les équations
Commencez par simplifier chaque équation pour éliminer les fractions et regrouper les termes similaires.
\(2x + 3 = \dfrac{7}{2} +
\dfrac{z}{2}\)
Multiplions chaque terme par 2 pour éliminer les fractions :
\[ 4x + 6 = 7 + z \]
\[ 4x - z = 1 \quad \text{*(Équation 1)} \]
\(7x - 3z = 2 - 2y\)
Réarrangeons pour regrouper les variables :
\[ 7x + 2y - 3z = 2 \quad \text{*(Équation 2)} \]
\(3x - 5y + 4z = 5\)
Cette équation est déjà simplifiée.
\(\quad \text{*(Équation 3)}\)
Étape 2 : Exprimer une variable en fonction des autres
À partir de l’équation 1 :
\[ 4x - z = 1 \quad \Rightarrow z = 4x -1 \quad \text{*(Équation 4)} \]
Étape 3 : Substituer \(z\) dans les autres équations
Substitution dans l’équation 2 :
\[ 7x + 2y - 3(4x -1) = 2 \]
Développons :
\[ 7x + 2y -12x + 3 = 2 \]
Simplifions :
\[ -5x + 2y = -1 \quad \text{*(Équation 5)} \]
Substitution dans l’équation 3 :
\[ 3x - 5y + 4(4x -1) = 5 \]
Développons :
\[ 3x -5y +16x -4 =5 \]
Simplifions :
\[ 19x -5y =9 \quad \text{*(Équation 6)} \]
Étape 4 : Résoudre le système à deux équations
Nous avons maintenant :
\[ \begin{cases} -5x + 2y = -1 \quad \text{*(Équation 5)} \\ 19x -5y =9 \quad \text{*(Équation 6)} \end{cases} \]
Pour éliminer \(y\), multiplions l’équation 5 par 5 et l’équation 6 par 2 :
\[ \begin{cases} -25x + 10y = -5 \quad \text{*(Équation 7)} \\ 38x -10y =18 \quad \text{*(Équation 8)} \end{cases} \]
Additionnons les équations 7 et 8 :
\[ (-25x + 38x) + (10y -10y) = -5 +18 \]
\[ 13x =13 \quad \Rightarrow x =1 \]
Étape 5 : Trouver \(y\) et \(z\)
Trouver \(y\) à partir de l’équation 5 :
\[ -5(1) + 2y = -1 \]
\[ -5 +2y = -1 \]
\[ 2y =4 \quad \Rightarrow y =2 \]
Trouver \(z\) à partir de l’équation 4 :
\[ z =4x -1 =4(1) -1 =3 \]
Solution du système :
\[ \boxed{ \begin{cases} x =1 \\ y =2 \\ z =3 \end{cases} } \]
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} 4x + z = 0 \\ -5z + 6y = 12 \end{cases} \]
Étape 1 : Exprimer une variable en fonction de l’autre
À partir de la première équation :
\[ 4x + z =0 \quad \Rightarrow z = -4x \quad \text{*(Équation 1)} \]
Étape 2 : Substituer \(z\) dans la deuxième équation
\[ -5(-4x) +6y =12 \]
Simplifions :
\[ 20x +6y =12 \]
Divisons par 2 :
\[ 10x +3y =6 \quad \text{*(Équation 2)} \]
Étape 3 : Isoler une variable
Isolons \(y\) dans l’équation 2 :
\[ 3y =6 -10x \]
\[ y =2 - \dfrac{10}{3}x \quad \text{*(Équation 3)} \]
Étape 4 : Déterminer les solutions
Le système comporte deux équations avec deux inconnues. Il n’y a pas assez d’équations pour déterminer de manière unique \(x\) et \(y\). Cependant, nous pouvons exprimer \(y\) en fonction de \(x\) et vice versa.
Les solutions sont donc de la forme :
\[ \boxed{ \begin{cases} z = -4x \\ y =2 - \dfrac{10}{3}x \end{cases} } \]
Où \(x\) est un paramètre libre appartenant aux nombres réels.
Résoudre le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ 3x - y + 2z = 7 \\ x + y = 3 \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier et réorganiser les équations
Commençons par analyser les équations données :
\(2x + y = 4\) (Équation 1)
\(3x - y + 2z = 7\) (Équation 2)
\(x + y = 3\) (Équation 3)
Étape 2 : Éliminer une variable
Observons que les équations 1 et 3 contiennent \(2x + y\) et \(x + y\).
Soustrayons l’équation 3 de l’équation 1 pour éliminer \(y\) :
\[ (2x + y) - (x + y) =4 -3 \]
Simplifions :
\[ x =1 \quad \text{*(Valeur de \( x \))} \]
Étape 3 : Trouver \(y\)
Utilisons la valeur de \(x\) dans l’équation 3 :
\[ 1 + y =3 \quad \Rightarrow y =2 \]
Étape 4 : Trouver \(z\)
Substituons \(x =1\) et \(y =2\) dans l’équation 2 :
\[ 3(1) -2 + 2z =7 \]
Simplifions :
\[ 3 -2 + 2z =7 \]
\[ 1 +2z =7 \]
\[ 2z =6 \quad \Rightarrow z =3 \]
Solution du système :
\[ \boxed{ \begin{cases} x =1 \\ y =2 \\ z =3 \end{cases} } \]