Question modifiée : Résoudre les systèmes suivants :
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 3x + 2y - z = 4 \\ 5x + 3y - 2z = 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x - 5y + 2z = 26 \\ 2x + 3y - 5z = 11 \\ 7x - 9y - 3z = 63 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x - y + z = 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x - y + z = 7 \\ x + y - z = 1 \\ -x + y + z = 3 \end{cases} \]
Résumé des solutions :
Exercice 1 : \[ x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3 \]
Exercice 2 : \[ x = 6, \quad y = -2, \quad z = -1 \]
Exercice 3 : \[ x = 2y + 4, \quad z = -3y - 3 \quad (\text{avec } y \text{ libre}) \]
Exercice 4 : \[ x = 4, \quad y = 2, \quad z = 5 \]
Résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 3x + 2y - z = 4 \\ 5x + 3y - 2z = 5 \end{cases} \]
Nous avons trois équations avec trois inconnues : \(x\), \(y\), et \(z\).
Nous allons éliminer une variable pour simplifier le système. Commençons par éliminer \(z\).
Première équation : \[ x + y + z = 6 \quad \Rightarrow \quad z = 6 - x - y \]
Deuxième équation : \[ 3x + 2y - z = 4 \] En remplaçant \(z\) : \[ 3x + 2y - (6 - x - y) = 4 \\ 3x + 2y - 6 + x + y = 4 \\ 4x + 3y = 10 \quad \text{(Équation 4)} \]
Troisième équation : \[ 5x + 3y - 2z = 5 \] En remplaçant \(z\) : \[ 5x + 3y - 2(6 - x - y) = 5 \\ 5x + 3y - 12 + 2x + 2y = 5 \\ 7x + 5y = 17 \quad \text{(Équation 5)} \]
Nous avons maintenant : \[ \begin{cases} 4x + 3y = 10 \quad \text{(Équation 4)} \\ 7x + 5y = 17 \quad \text{(Équation 5)} \end{cases} \]
Nous allons utiliser la méthode d’élimination.
Multiplier l’Équation 4 par 5 : \[ 20x + 15y = 50 \quad \text{(Équation 6)} \]
Multiplier l’Équation 5 par 3 : \[ 21x + 15y = 51 \quad \text{(Équation 7)} \]
Soustraire l’Équation 6 de l’Équation 7 : \[ (21x + 15y) - (20x + 15y) = 51 - 50 \\ x = 1 \]
En remplaçant \(x = 1\) dans l’Équation 4 : \[ 4(1) + 3y = 10 \\ 4 + 3y = 10 \\ 3y = 6 \\ y = 2 \]
En utilisant la première équation : \[ z = 6 - x - y = 6 - 1 - 2 = 3 \]
La solution du système est : \[ x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3 \]
Résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} 3x - 5y + 2z = 26 \\ 2x + 3y - 5z = 11 \\ 7x - 9y - 3z = 63 \end{cases} \]
Nous avons trois équations avec trois inconnues : \(x\), \(y\), et \(z\).
Nous allons éliminer une variable pour simplifier le système. Choisissons \(z\) cette fois.
Cependant, il est souvent plus simple d’éliminer \(z\) en combinant les équations.
Multiplier la première équation par 5 et la deuxième par 2 pour aligner les coefficients de \(z\) : \[ \begin{cases} 15x - 25y + 10z = 130 \quad \text{(Équation 4)} \\ 4x + 6y - 10z = 22 \quad \text{(Équation 5)} \end{cases} \]
Ajouter l’Équation 4 et l’Équation 5 pour éliminer \(z\) : \[ (15x - 25y + 10z) + (4x + 6y - 10z) = 130 + 22 \\ 19x - 19y = 152 \\ x - y = 8 \quad \text{(Équation 6)} \]
Multiplier la première équation par 3 et la troisième équation par 2 pour aligner les coefficients de \(z\) : \[ \begin{cases} 9x - 15y + 6z = 78 \quad \text{(Équation 7)} \\ 14x - 18y - 6z = 126 \quad \text{(Équation 8)} \end{cases} \]
Ajouter l’Équation 7 et l’Équation 8 pour éliminer \(z\) : \[ (9x - 15y + 6z) + (14x - 18y - 6z) = 78 + 126 \\ 23x - 33y = 204 \quad \text{(Équation 9)} \]
Nous avons maintenant : \[ \begin{cases} x - y = 8 \quad \text{(Équation 6)} \\ 23x - 33y = 204 \quad \text{(Équation 9)} \end{cases} \]
Exprimer \(x\) en fonction de \(y\) à partir de l’Équation 6 : \[ x = y + 8 \]
Remplacer \(x\) dans l’Équation 9 : \[ 23(y + 8) - 33y = 204 \\ 23y + 184 - 33y = 204 \\ -10y + 184 = 204 \\ -10y = 20 \\ y = -2 \]
En utilisant \(x = y + 8\) avec \(y = -2\) : \[ x = -2 + 8 = 6 \]
Utilisons la première équation initiale : \[ 3x - 5y + 2z = 26 \\ 3(6) - 5(-2) + 2z = 26 \\ 18 + 10 + 2z = 26 \\ 28 + 2z = 26 \\ 2z = -2 \\ z = -1 \]
La solution du système est : \[ x = 6, \quad y = -2, \quad z = -1 \]
Résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x - y + z = 5 \\ \end{cases} \]
Ce système comporte seulement deux équations pour trois inconnues (\(x\), \(y\), \(z\)). Donc, il y a une infinité de solutions exprimées en fonction d’une variable libre. Cependant, étant donné que la consigne demande une solvabilité simple, nous pouvons exprimer deux variables en fonction de la troisième.
\[ \begin{cases} x + y + z = 1 \quad \text{(Équation 1)} \\ 2x - y + z = 5 \quad \text{(Équation 2)} \end{cases} \]
La solution du système peut s’exprimer en fonction de \(y\) : \[ x = 2y + 4, \quad z = -3y - 3 \]
Où \(y\) est un nombre réel choisi librement.
Résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} x - y + z = 7 \\ x + y - z = 1 \\ - x + y + z = 3 \end{cases} \]
Nous avons trois équations avec trois inconnues : \(x\), \(y\), et \(z\).
Nous allons additionner des équations pour éliminer certaines variables.
\[ (x - y + z) + (x + y - z) = 7 + 1 \\ 2x = 8 \\ x = 4 \]
Maintenant que nous connaissons \(x = 4\), remplaçons-le dans les autres équations.
Première équation : \[ 4 - y + z = 7 \\ -y + z = 3 \quad \text{(Équation 4)} \]
Deuxième équation : \[ 4 + y - z = 1 \\ y - z = -3 \quad \text{(Équation 5)} \]
Troisième équation : \[ -4 + y + z = 3 \\ y + z = 7 \quad \text{(Équation 6)} \]
Nous avons : \[ \begin{cases} -y + z = 3 \quad \text{(Équation 4)} \\ y - z = -3 \quad \text{(Équation 5)} \end{cases} \]
Utilisons l’Équation 6 : \[ y + z = 7 \]
Et l’une des équations précédentes, par exemple l’Équation 4 : \[ -y + z = 3 \]
Ajouter ces deux équations : \[ (y + z) + (-y + z) = 7 + 3 \\ 2z = 10 \\ z = 5 \]
Trouver \(y\) : En remplaçant \(z = 5\) dans l’Équation 6 : \[ y + 5 = 7 \\ y = 2 \]
La solution du système est : \[ x = 4, \quad y = 2, \quad z = 5 \]